Dureza de aproximación suponiendo NP! = CoNP

Dos de los supuestos comunes para probar la dureza de los resultados de aproximación son y Unique Games Conjecture. ¿Hay alguna dureza de los resultados de aproximación suponiendo N P ≠ c o N P ? Estoy buscando el problema A tal que "es difícil aproximar A dentro de un factor α a menos que N P = c o N P ".$P \neq NP$$NP \neq coNP$$A$$A$$\alpha$$NP = coNP$

Se sabe que "mostrar la dureza del factor NP para el problema del vector más corto implicaría que N P = c o N P ". Tenga en cuenta que este es el "opuesto" de lo que estoy buscando.$n$$NP = coNP$

Aclaración: es posible que y aún la pregunta P vs NP esté abierta. Estoy en busca de dureza de resultado aproximación que se convertirá en falso si N P = c o N P pero no se ve afectado (es decir, todavía permanece como una conjetura) por P ≠ N P .$NP=coNP$$NP=coNP$$P \neq NP$

Aquí hay una observación directa. Si asume , entonces es bastante fácil ver que hay problemas de optimización de N P que ni siquiera tienen buenos algoritmos de aproximación no deterministas , en cierto sentido.$NP \neq coNP$$NP$

Por ejemplo, el teorema de PCP dice que puede traducir SAT en el problema de distinguir si de las cláusulas están satisfechas y todas las cláusulas están satisfechas, para algunos ε > 0 . Supongamos que hay un algoritmo no determinista que puede distinguir entre estos dos casos, en el sentido de que el algoritmo no determinista puede informar en cada ruta de cálculo "todos satisfechos" o "a lo sumo 1 - ε ", y dice "a lo sumo 1 - ε "en alguna ruta si como máximo 1 - $1-\varepsilon$$\varepsilon > 0$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$puede satisfacerse, de lo contrario dice "todos satisfechos" en cada ruta de cálculo si se pueden satisfacer todas las ecuaciones. Esto es suficiente para decidir SAT en , por lo que N P = c o N P . Parece claro que la existencia de un tal algoritmo no determinista no influye en si P = N P .$coNP$$NP=coNP$$P = NP$

Es bastante convincente que existe un escenario más "natural": un problema de optimización que es difícil de aproximado en determinista tiempo polinómico bajo pero no conocido por ser duro bajo P ≠ N P . (Esto es probablemente lo que realmente quería preguntar). Muchos resultados de dureza de aproximación se prueban primero bajo un supuesto más fuerte (por ejemplo, N P no en tiempo subexponencial, o N P no en B P P ). En algunos casos, las mejoras posteriores debilitan el supuesto necesario, a veces hasta P ≠ $NP \neq coNP$$P \neq NP$$NP$$NP$$BPP$ . Por lo tanto, existe la esperanza de que haya una respuesta un poco más satisfactoria a su pregunta que esta. Es difícil de extrañar cómo podría ser un problema queno puedeser probado difícil de aproximar en polytime determinista bajo P ≠ N P , peropuedeser probada duro bajo N P ≠ c o N P . Eso significaría que N P ≠ c o N P nos dice algo sobre los cálculos deterministas que P ≠ N P ya no dice; intuitivamente, esto es difícil de entender.$P \neq NP$$P \neq NP$$NP \neq coNP$$NP \neq coNP$$P \neq NP$

Descargo de responsabilidad: esta no es una respuesta directa.

En realidad, hay muchas más condiciones de dureza además de P! = NP y el UGC. David Johnson escribió una hermosa columna para las Transacciones sobre Algoritmos en 2006 precisamente sobre este tema. Enumera los numerosos supuestos diferentes que se utilizan para mostrar la dureza y cómo se relacionan entre sí.

Desafortunadamente, estas son todas las clases NP vs deterministas (con la excepción de NP y co-AM). NP vs co-NP no está cubierto en absoluto.

es una hipótesis más fuerte que P ≠ N P desde N P ≠ C O N P implica P ≠ N P . Entonces, cualquier resultado de dureza de la aproximación suponiendo que P ≠ N P también se seguiría de lasuposiciónde N P ≠ c o N $NP \ne coNP$$P \ne NP$$NP\ne coNP$$P\ne NP$$P\ne NP$$NP\ne coNP$

Esta no es una respuesta directa

$\prod_2^P$$NP \ne coNP$$NP$ -duro. (incluso 3-Chooseability es$\prod_2^P$-completar)

Noga Alon, coloraciones restringidas de gráficos