Solicitud de referencia: minimización submodular y funciones booleanas monótonas

Antecedentes: en el aprendizaje automático, a menudo trabajamos con modelos gráficos para representar funciones de densidad de probabilidad de alta dimensión. Si descartamos la restricción de que una densidad se integra (sumas) a 1, obtenemos una función de energía estructurada en gráficos no normalizada .

Supongamos que tenemos una función de energía, , definida en un gráfico . Hay una variable para cada vértice de la gráfica, y hay funciones unarias y por pares de valores reales, \ theta_i (x_i): i \ in \ mathcal {V} y \ theta_ {ij} (x_i, x_j): ij \ in \ mathcal {E} , respectivamente. La energía completa es entonces$E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

Si todas las $x \in \mathbf{x}$ son binarias, podemos pensar en una $x$ como una membresía establecida y con un pequeño abuso de terminología se habla de submodularidad. En este caso, una función de energía es submodular iff $\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$ . Normalmente estamos interesados ​​en encontrar la configuración que minimice la energía, $\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ .

Parece haber una conexión entre minimizar una función de energía submodular y funciones booleanas monótonas: si disminuimos la energía de algunos $\theta_i(x_i=1)$ para cualquier $x_i$ (es decir, aumentamos su preferencia para que sea "verdadera"), entonces el óptimo la asignación de cualquier variable $x_i^* \in \mathbf{x}^*$ solo puede cambiar de 0 a 1 ("falso" a "verdadero"). Si todo $\theta_i$ está restringido a 0 o 1, entonces tenemos $|\mathcal{V}|$funciones booleanas monótonas:

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

donde como arriba, $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ .

Pregunta: ¿Podemos representar todas las funciones booleanas monótonas utilizando esta configuración variando los términos por pares, ? ¿Qué pasa si permitimos que sea ​​una función de energía submodular arbitraria? Por el contrario, ¿podemos representar todos los problemas de minimización submodular como un conjunto defunciones booleanas monótonas?$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

¿Puede sugerir referencias que me ayudarán a comprender mejor estas conexiones? No soy un científico de la computación teórico, pero estoy tratando de entender si hay ideas sobre las funciones booleanas monótonas que no se capturan al pensar en los términos de minimización submodular.

Según tengo entendido, el caso de minimización submodular captura todo lo que se puede decir sobre el caso booleano monótono, y las funciones booleanas submodulares binarias pueden expresar todas las funciones booleanas submodulares. Sin embargo, si el dominio no es booleano, entonces las funciones submodulares binarias no son suficientes para expresar todas las funciones submodulares, incluso si se pueden introducir variables ocultas. (Disculpas si me he perdido una sutileza en tu redacción precisa del problema).

El estado del arte se discute en este bonito artículo que tiene muchos enlaces a trabajos relacionados, y que también hace que los enlaces a la visión por computadora sean bastante explícitos:

• Stanislav Živný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, El poder expresivo de las funciones submodulares binarias , DAM 157 3347–3358, 2009. doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( preprint )

En caso de que su próxima pregunta sea sobre aproximación, este artículo reciente analiza la versión de aproximación:

• Dorit S. Hochbaum, Problemas submodulares - aproximaciones y algoritmos , arXiv: 1010.1945

Editar: enlace fijo.