Aproximación de problemas # P-hard

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Considere el problema clásico # P-complete # 3SAT, es decir, contar el número de valoraciones para hacer que un 3CNF con $n$ variables sea satisfactoria. Estoy interesado en la aproximabilidad aditiva . Claramente, hay un algoritmo trivial para lograr $2^{n-1}$ error , pero si $k<2^{n-1}$ , ¿es posible tener un algoritmo de aproximación eficiente, o este problema también es # P-difícil?

— user0928
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Si

, entonces hay un algoritmo de poli-tiempo con error aditivo

. Si

, entonces habría un algoritmo de politiempo aleatorio con error aditivo

. Cuando

es significativamente más pequeño (pero no polinomialmente pequeño), esperaría que sea NP-hard, pero no # P-hard, ya que la dureza #P generalmente depende de que sea un cálculo exacto.

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— Thomas

¿Podría proporcionar una referencia para las dos primeras reclamaciones? Lo siento, soy un principiante ...

— user0928

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Estamos interesados en aproximaciones aditivas al # 3SAT. es decir, dado un 3CNF en variables, cuente el número de asignaciones satisfactorias (llame a esto ) hasta el error aditivo . $\phi$ $n$ $a$ $k$

Aquí hay algunos resultados básicos para esto:

Caso 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Aquí hay un algoritmo determinista de poli-tiempo: Sea . Ahora evalúe en entradas arbitrarias (p. Ej., Las primeras entradas lexicográficamente ). Suponga que de estas entradas satisfacen . Entonces conocemos ya que hay al menos asignaciones satisfactorias y $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ ya que hay al menos tareas insatisfactorias. La longitud de este intervalo es . Entonces, si sacamos el punto medio esto está dentro de de la respuesta correcta, según sea necesario. $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$

Caso 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Aquí tenemos un algoritmo aleatorio de poli-tiempo: Evalúe en puntos aleatorios . Deje $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ y. Producimos. Para que esto tenga un error como máximonecesitamosque es equivalente a $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

Por unlímite de Chernoff,

como

. Esto implica que, si elegimos

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$

(y asegúrese de que

sea una potencia de

), entonces con una probabilidad de al menos

, el error es como máximo

.

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Caso 3: para $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

$\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Thomas
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Aquí hay una referencia a Bordewich, Freedman, Lovász y Welsh que desarrolla este tema hasta cierto punto.

— Martin Schwarz
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