Ejemplos donde la singularidad de la solución hace que sea más fácil encontrar

La clase de complejidad consiste en esos problemas que pueden decidirse por una máquina de Turing no determinista de tiempo polinomial que tiene como máximo una ruta computacional de aceptación. Es decir, la solución, si la hay, es única en este sentido. Se cree altamente improbable que todos los problemas estén en , porque según el Teorema Valiant-Vazirani esto implicaría el colapso .N P U P P N P = R $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

Por otro lado, no se sabe que ningún problema completo , lo que sugiere que el requisito de solución única todavía los hace más fáciles.N $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

Estoy buscando ejemplos, donde el supuesto de unicidad conduce a un algoritmo más rápido.

Por ejemplo, observando los problemas del gráfico, ¿se puede encontrar una camarilla máxima en un gráfico más rápido (aunque posiblemente todavía en tiempo exponencial), si sabemos que el gráfico tiene una camarilla máxima única ? ¿Qué tal una coloración única, un camino hamiltoniano único, un conjunto dominante mínimo único, etc.$k$

En general, podemos definir una versión de solución única de cualquier completo , reduciéndolo a . ¿Se sabe para alguno de ellos que agregar el supuesto de unicidad conduce a un algoritmo más rápido? (Permitiendo que siga siendo exponencial).U $\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT puede ser uno de esos problemas. Actualmente, el mejor límite superior para Unique 3-SAT es exponencialmente más rápido que para el 3-SAT general. (La aceleración es exponencial, aunque la reducción en el exponente es pequeña.) El poseedor del récord para el caso único es este artículo de Timon Hertli.

El algoritmo de Hertli se basa en el importante algoritmo PPSZ de Paturi, Pudlák, Saks y Zane para -SAT, que creo que sigue siendo el más rápido para k ≥ 5 (ver también este artículo de la enciclopedia). El análisis original mostró mejores límites para Unique k -SAT que para k -SAT general cuando k = 3 , 4 ; posteriormente, sin embargo, Hertli mostró en un documento diferente$k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$que podría obtener los mismos límites para el algoritmo PPSZ (un poco ajustado), sin suponer unicidad. Entonces, tal vez la unicidad ayude, y definitivamente puede simplificar el análisis de algunos algoritmos, pero nuestra comprensión del papel de la unicidad para -SAT todavía está creciendo.$k$

Hay evidencia de que Unique -SAT no es mucho más fácil que el general k -SAT. La hipótesis del tiempo exponencial fuerte (SETH) afirma que no hay δ < 1, de modo que n -variable k -SAT se pueda resolver en el tiempo O ∗ ( 2 δ n ) para cada constante k ≥ 3 . En un documento de Calabro, Impagliazzo, Kabanets y Paturi se demostró que, si SETH se cumple, entonces la misma afirmación es cierta para Unique k -SAT. Además, si general $k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$-SAT requiere un tiempo exponencial, es decir, hay algunos modo que k -SAT general no puede resolverse en el tiempo O ∗ ( 2 ϵ n ) , entonces lo mismo debe ser cierto para Unique 3-SAT. Vea el documento para la declaración más general. $k \geq 3, \epsilon > 0$$k$$O^*(2^{\epsilon n})$

(Nota: la notación suprime los factores polinómicos en la longitud de entrada).$O^*$

El problema más corto de la ruta disjunta de 2 vértices en gráficos no dirigidos recientemente resuelto (ICALP14) por A. Bjorklund y T. Husfeldt. Pero la solución determinista es para el caso de la existencia de una solución única. En el caso de que haya más de una solución, demostraron que el problema pertenece a RP . Como los autores del artículo mencionan, no se sabe si el problema está en P en el escenario general.

Outside of complexity theory and the analysis of algorithms, the assumption that there can be only one solution forms the basis for some of the standard rules used to deduce the solution in Sudoku puzzles. These rules generally involve looking for ways in which parts of the puzzle might be able to have two or more solutions that don't interact with the rest of the puzzle. That can't happen in the actual solution, so if a pattern that threatens to cause this is found, then it must be broken, allowing the solver to deduce constraints on what the actual solution can look like. See http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp for some examples of deduction rules based on uniqueness.

Mencionando otro resultado de Björklund, si tiene la garantía de que hay como máximo un ciclo hamiltoniano en un gráfico, puede decidir si un gráfico $G$ es Hamiltoniano más rápido de lo que puedes en general.

El supuesto de unicidad significa que la paridad del número de jamón. caminos es lo mismo que decidir si el gráfico es hamiltoniano.

El método de Björklund calcula de manera determinista la paridad del número de ciclos hamiltonianos en$O(1.619^n)$mientras que el algoritmo aleatorio más conocido para Hamiltonicity no dirigido se ejecuta en$O^*(1.657^n)$ , y el mejor algoritmo determinista para Hamiltonicity Dirigido (que yo sepa) aún tiene 50 años $O(n^22^n)$ algoritmo de programación dinámica de Bellman, Held y Karp.