Eficientemente obteniendo trozos de N! ?

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Dados y , ¿es posible obtener el bit '(o dígito de cualquier base pequeña) de en tiempo / espacio de , donde es alguna función polinómica en e ? $N$ $M$ $M$ $N!$ $O( p( ln(N), ln(M) ) )$ $p(x, y)$ $x$ $y$

es decir, dado , (con , ), encuentre el bit de en . $N = 2^\eta$ $M = 2^\mu$ $N$ $M \in \mathbb{Z}$ $2^\mu$ $(2^\eta)!$ $O( p(\eta, \mu) )$

Nota: He preguntado esto en mathoverflow.net aquí y no he recibido ninguna respuesta, por lo que he publicado.

Del comentario en el otro sitio, Gene Kopp señala que uno puede calcular eficientemente los bits de orden inferior haciendo aritmética modular y bits de orden superior utilizando la aproximación de Stirling, por lo que esta pregunta es realmente '¿qué tan eficientemente se puede calcular los bits de orden medio?' .

ds.algorithms nt.number-theory

— usuario834
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Dick Lipton tiene una hermosa publicación de 2009 sobre la relación entre la función factorial y la factorización. Hay muchas cosas que no están relacionadas con esta pregunta, pero un punto destacado es este teorema:

Si se puede calcular mediante un cálculo aritmético en línea recta en pasos , luego la factorización tiene circuitos de tamaño polinómico. $n!$ $O(\log^{c} n)$

Sospecho que esto es evidencia de que su pregunta, especialmente dentro de los límites de tiempo que menciona, será difícil de responder.

— Suresh Venkat
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Gracias, este es exactamente el tipo de respuesta que estaba buscando. Esto no responde directamente a mi pregunta y no veo exactamente cómo conectar los dos, pero está lo suficientemente cerca como para tranquilizarme.

— user834

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$p$

$p$ $(p^2)$ $p^2$ $p$ $N!$ $X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$ $\log_p(N!)$ $\ln N! \approx N \ln N - N$ $p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$ $1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$ $\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$ $i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$ $N!$ $p$

— Joe Fitzsimons
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