¿Podemos ordenar sin permutaciones?

Es bien sabido que la clasificación de permutaciones por transposición está en , ya que el número mínimo de transposiciones requeridas para clasificar π ∈ S n es exactamente i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  y  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. Esta noción de "número de inversión" también tiene aplicaciones en la combinatoria algebraica, por ejemplo, permite dotar a de una estructura reticular, llamada permutoedro y basada en el orden débil de Bruhat.$S_n$

Puede ser esclarecedor reformular el problema en términos de teoría de grupos. Se nos da un grupo con el grupo electrógeno Γ y un mapeo i G : Γ ∗ → G , y otro grupo H en el que G actúa de forma transitiva, y queremos resolver el siguiente problema: dado h ∈ H , encontrar una longitud mínima w ∈ Γ ∗ tal que i G ( w ) . h = 1 H . En el caso de permutación, G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ y Γ es el conjunto de transposiciones.$G = H = S_n$$\Gamma$

Pregunta: ¿hay otras instancias de este problema que admitan algoritmos eficientes?

$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: la complejidad de encontrar secuencias generadoras de longitud mínima. Theor Comput Sci. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$