Ejemplo de donde la violación de la condición estricta de positividad en los tipos inductivos conduce a una inconsistencia

Los sistemas tipificados más dependientes tienen unas condiciones de positividad estrictas para los tipos inductivos. ¿Alguien sabe un ejemplo donde la violación de la condición conduce a la inconsistencia en el sistema?

En realidad, es posible relajar la estricta positividad y permanecer constante. Por ejemplo, es suficiente tener solo una condición de positividad. Es decir, podemos aceptar definiciones de tipo como

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

donde las variables de tipo recursivo ocurren a la izquierda de un número par de flechas y retienen la consistencia.

Sin embargo, las teorías que permiten este tipo de tipo inductivo no tienen modelos teóricos de conjuntos: no puede interpretar los tipos como conjuntos y los términos como elementos de conjuntos. En este caso, estamos diciendo que es isomorfo a su doble conjunto de potencia (es decir, T ≃ P ( P ( T ) ) ), y esto viola el teorema de Cantor .$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Dado que las teorías de tipo dependiente a menudo se usan para formalizar las matemáticas, sus diseñadores generalmente dudan en agregar principios que no sean compatibles con una semántica de teoría de conjuntos, incluso si son consistentes.

EDITAR: Estoy agregando esta edición en respuesta a la pregunta de Andrej. El tipo es consistente si lo agrega a (digamos) Agda; no hay problemas con eso en absoluto. Solo tenemos un problema si combinamos una positividad no estricta con un medio excluido.$T$

La intuición de por qué es seguro es (IMO) mejor vista a través de la lente de la parametricidad. En el Sistema F, podemos mostrar usando la parametricidad que para cualquier functor definible , el tipo μ F ≜ ∀ α $F$ es de hecho un tipo inductivo.$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

Ahora, recuerde que un functor definible es un operador tipo F : ∗ → ∗ , junto con un operador m a p : ∀ α , β $F$$F : \ast \to \ast$ satisface las condiciones de functorialidad (es decir, m a

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ y m a $\mathrm{map}\;id = id$ ).$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Ahora, podemos definir un operador de tipo para el doble conjunto de potencia

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

y debido a que ocurre solo positivamente, también podemos definir un operador de mapa para él:$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

$T = \mu C$