Clique plantado en G (n, p), variando p

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En el problema de la camarilla plantada, uno debe recuperar una $k$ camarilla plantada en un gráfico aleatorio Erdos-Renyi $G(n,p)$ . Esto se ha visto principalmente para $p=\frac{1}{2}$ , en cuyo caso se sabe que puede resolverse en tiempo polinómico si $k > \sqrt{n}$ y conjeturado duro para $k< \sqrt{n}$ .

Mi pregunta es: ¿qué se sabe / cree sobre otros valores de $p$ ? Específicamente, cuando $p$ es una constante en $[0,1]$ ? ¿Existe evidencia de que, para cada valor de $p$ , existe algún $k=n^{\alpha}$ para el cual el problema es computacionalmente difícil?

Las referencias serían particularmente útiles, ya que no he logrado encontrar ninguna literatura que analice el problema para valores distintos de $p=\frac{1}{2}$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— srd
fuente

sí, es difícil para algunos parámetros basados en el fenómeno de punto de transición completo de NP que está más estudiado para SAT pero también es válido para el problema de la camarilla y ha sido estudiado algo / menos allí. Esto está estrechamente relacionado con la búsqueda de límites inferiores en los circuitos monótonos para el problema de la camarilla y las funciones de corte. Hay algunas preguntas relacionadas en el sitio, puede desenterrarlas. El reciente artículo de Rossman sobre la dureza de la función de camarilla es relevante. etc ... podría funcionar para responder más tarde dependiendo de si aparecen otros ...

— vzn

Esta dureza Q / A de la camarilla parametrizada tcs.se debería responder a su pregunta directamente. responder en el chat teórico de informática para más discusión

— vzn

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Gracias. Sin embargo, me preocupaba principalmente la versión plantada, y no la versión del peor de los casos (que, como usted dice, es NP completa para p constante).

— srd

ok, parece que la "camarilla plantada" generalmente se limita a G (n, ½) como usted afirma en este reciente documento Algoritmos estadísticos y un límite inferior para detectar la camarilla plantada por Feldman et al que lo considera y cita referencias relacionadas, pero nuevamente no considere p ≠ ½. el problema general parece estar "cerca" de encontrar camarillas de algún tamaño en un gráfico G (n, p) para algunas opciones de parámetros (el último aparentemente está mucho más estudiado que en el tcs.se pg vinculado) pero no he visto que conexión señalada o elaborada / detallada en otra parte.

— vzn

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Si es constante, entonces el tamaño de la camarilla máxima en el modelo es casi siempre un múltiplo constante de , con la constante proporcional a . (Ver Bollobás, p.283 y Corolario 11.2.) Por lo tanto, cambiar debería afectar la dureza de plantar una camarilla con vértices siempre que la camarilla sea demasiado pequeña para que funcione un enfoque algorítmico existente. Por lo tanto, espero que con constante $p$ $G(n,p)$ $\log n$ $\log (1/p)$ $p$ $\omega(\log n)$ la dureza de Clique plantado debe comportarse igual que el caso, aunque es posible que el caso de muy cerca de 0 o 1 podría comportarse de manera diferente. $p \ne 1/2$ $p=1/2$ $p$

En particular, para el mismo umbral de para para el tamaño de la camarilla plantado aplica, por encima del cual el problema se convierte en tiempo polinómico. El valor de aquí es (y no algún otro valor) porque la función Lovász theta de es casi seguramente entre $p\ne 1/2$ $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha = 1/2$ $\alpha$ $1/2$ $G(n,p)$ y $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ , por un resultado de Juhász. El algoritmo de Feige y Krauthgamer utiliza la función theta de Lovász para encontrar y certificar una camarilla más grande, por lo que se basa en este tamaño de umbral para la camarilla plantada. $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$

Por supuesto, puede haber un algoritmo diferente que no utiliza la función theta Lovász, y que para valores de lejos de puede encontrar una camarilla plantado con, por ejemplo vértices. Por lo que puedo decir, esto todavía está abierto. $p$ $1/2$ $n^{1/3}$

Feige y Krauthgamer también discuten cuando no es constante pero depende de , y está cerca de 0 o cerca de 1. En estos casos existen otros enfoques para encontrar camarillas plantadas, y el tamaño del umbral es diferente. $p$ $n$

Béla Bollobás, Gráficos aleatorios (2a edición), Cambridge University Press, 2001.
Ferenc Juhász, el comportamiento asintótico de Lovász' función para grafos aleatorios $\vartheta$ , Combinatorica 2 (2) 153-155, 1982. doi: 10.1007 / BF02579314
Uriel Feige y Robert Krauthgamer, Encontrar y certificar una gran camarilla oculta en un gráfico semialeatorio , Random Structures & Algorithms 16 (2) 195–208, 2000. doi: 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

— András Salamon
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Gracias. Esto parece resumir el estado del arte y confirmar que no se sabe nada demasiado definitivo. La mejor evidencia de que el problema se comporta de manera similar parece ser el valor de la función thevas de Lovasz, como usted señala.

— srd

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camarilla plantada para es un caso especial de este problema y nuevos resultados (límites inferiores) como se indica en p2, etc. e incluye referencias relacionadas. (2015) $p \neq \frac{1}{2}$

Mostramos que, suponiendo la hipótesis del tiempo exponencial (determinista), distinguiendo entre un gráfico con una inducida y un gráfico en el que todos los subgramas tienen densidad como máximo , requiere tiempo. $k$ $k$ $1 −\varepsilon$ $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$

ETH Dureza para Densest- -Subgraph con Perfectnessness $k$ / Braverman, Ko, Rubinstein, Weinstein

— vzn
fuente

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Aquí hay un nuevo artículo que tiene un algoritmo para p ≠ ½ arbitrario basado en un algoritmo SVD. ver p.4 para el análisis de la camarilla oculta (plantada).

UN ALGORITMO SVD SIMPLE PARA ENCONTRAR PARTICIONES OCULTAS Van Vu

Resumen. Encontrar una partición oculta en un entorno aleatorio es un problema general e importante, que contiene como subproblemas muchas preguntas famosas, como encontrar una camarilla oculta, encontrar un color oculto, encontrar una bipartición oculta, etc. En este documento, proporcionamos un SVD simple algoritmo para este propósito, respondiendo una pregunta de McSherry. Este algoritmo es muy fácil de implementar y funciona para gráficos dispersos con una densidad óptima.

— vzn
fuente

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Funciona para

también, pero no para arbitraria

. Tenga en cuenta también que para

constante, la camarilla oculta aún debe ser de tamaño

p = 1 / 2

$p=1/2$

p

$p$

p

$p$

.

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

sin decir que es la respuesta exacta / definitiva, solo alguna mejora sobre otros

solo límites de otros documentos. analiza una amplia gama de valores de

sujetos a restricciones misceláneas (incluido el tamaño de la camarilla), detalles en el documento. la pregunta no parece tan estricta acerca de cuál es la restricción de combinación exacta / simultánea de tamaño de camarilla /

. (¿el documento no cubre parte del caso

solicitado? ¿o está interpretando la pregunta como estrictamente restrictiva

?)

p = ½

$p=½$

p

$p$

p

$p$

p \neq ½, k = n^{α}

$p≠½, k=n^\alpha$

α

$\alpha$

— vzn