¿Qué propiedades de los gráficos planos se generalizan a dimensiones / hipergrafías más altas?

Un gráfico plano es un gráfico que se puede incrustar en el plano, sin tener bordes cruzados.

Supongamos que sea ​​una hipergrafía k -uniforme, es decir, una hipergrafía tal que todas sus hiperedificaciones tengan el tamaño k.$G=(X,E)$$k$

Se han realizado algunos trabajos para incrustar hipergrafías en el plano (con el contexto de agrupamiento u otra aplicación), pero a menudo, los datos simplemente no se pueden incrustar en el plano. La solución podría ser forzarlo, con alguna pérdida, o incrustarlo en una dimensión superior, como sugiero aquí:

Una extensión natural de la planaridad (IMO, al menos) es una " incrustación simple " (¿hay un nombre diferente conocido para ella?) De G : una incrustación M : X → R k , de modo que existen superficies que se conectan todos los vértices de cada hiperedificación, y estos no se cruzan, excepto los puntos finales.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Piense en el análogo en 2D, donde cada superficie es un borde que puede dibujar como quiera).

Aquí hay un ejemplo de una inclusión válida de 3 simples de una hipergrafía de 3 uniformes. (Cada vértice está coloreado por las hipereduras en las que está contenido, y cada cara representa una hiperedificación).

Otro ejemplo de gráfico de 3 simples es la hipergrafía completa de 3 uniformes en 5 vértices . Para ver esto, simplemente tome 4 puntos en R 3 que no se encuentran en un plano 2D, cree una pirámide triangular (su casco convexo) y coloque el quinto punto en el centro de la pirámide, conectándolo a los otros vértices.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Del mismo modo, parece que la hipergrafía completa de 3 uniformes en 6 vértices no tiene una incrustación de 3 simples.

Hay algunas propiedades muy útiles de los gráficos planos que permiten algoritmos mejorados para problemas difíciles cuando el gráfico es plano. Desafortunadamente, los datos a menudo no son planos, aunque a veces son de baja dimensionalidad. Creo que comprender qué propiedades de los gráficos planos generalizan nos ayudará a descubrir qué algoritmos se pueden adaptar para una dimensión superior con la misma herramienta.

Un ejemplo de una propiedad que podría ser útil proviene del Teorema de Fáry, que sugiere que cada gráfico plano puede incrustarse de manera que todos sus bordes sean segmentos de línea recta.

$k$

¿Hay otras propiedades que puedan generalizarse? por ejemplo, ¿puede la fórmula de Euler para gráficos planos generalizarse de alguna manera a una dimensión superior? (aunque por el momento no estoy seguro de cuál sería su significado).

Como primer comentario, su enfoque parece estar en las hipergrafías, pero creo que la mayor parte de la literatura sobre incrustaciones de hipergrafías prefiere trabajar con complejos simpliciales. Una buena referencia sobre estas preguntas es este documento de Matousek, Tancer y Wagner.

¿El Teorema de Fáry se mantiene en una dimensión superior?

La respuesta es no.

En realidad, hay 3 nociones diferentes de capacidad de inserción: con bordes rectos, lineales por partes y continuos (hiper). En el avión, todos coinciden, pero en general no. En cuanto a las incrustaciones en línea recta, un primer contraejemplo se debe a Brehm

Brehm, U. (1983). Una tira de Möbius triangulada no poliédrica. Proc. Amer Matemáticas. Soc., 89 (3), 519-522. doi: 10.2307 / 2045508

y varios ejemplos han seguido usando resultados de la teoría de matroides.

Sobre la diferencia entre PL y las incorporaciones topológicas, esto resulta de los contraejemplos generales que surgen del Hauptvermutung : en las dimensiones 5 y más, existen esferas topológicas que no admiten ninguna estructura lineal por partes

¿Hay otras propiedades que puedan generalizarse? por ejemplo, ¿puede la fórmula de Euler para gráficos planos generalizarse de alguna manera a una dimensión superior?

$k$

Del mismo modo, parece que la hipergrafía completa de 3 en 6 vértices no tiene 3 incrustaciones simples.

De hecho, esto resulta de la obstrucción van Kampen-Flores. Esto se explica con notable detalle y claridad en el libro de Matousek Usando el teorema de Borsuk Ulam.

Oh oh Quieres ser muy muy cuidadoso. Los gráficos de contacto de politopos convexos en 3d pueden realizar cualquier gráfico. Sorprendentemente, la camarilla puede realizarse mediante n politopos que son n copias rotadas y traducidas del mismo polytope (la mente se aturde). Ver este artículo:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Esto ya implica que puede codificar gráficos bastante desagradables como gráficos de intersección de triángulos en 3d. Consulte la sección 4 de este documento:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

Por cierto, estoy interesado en una versión similar de su problema al tratar de comprender cómo se comporta el gráfico de intersección geométrica ...

El teorema de Schnyder establece que un gráfico es plano si su incidencia poset tiene una dimensión como máximo 3. Esto ha sido extendido por Méndez a complejos simplicios arbitrarios (ver "Realización geométrica de complejos simpliciales", Graph Drawing 1999: 323-332). Por extraño que parezca, hay un artículo mucho más antiguo con un título muy similar "La realización geométrica de un complejo semi-simplicial", pero sospecho que se trata de un tema diferente.

Propiedad muy importante: dualidad de ancho de árbol.

Por ejemplo, mire: Ancho de árbol de hipergráficos y dualidad de superficie de Frederic Mazoit,

El resumen es el siguiente:

En Graph Minors III, Robertson y Seymour escriben: "Parece que el ancho del árbol de un gráfico plano y el ancho del árbol de su dual geométrico son aproximadamente iguales, de hecho, nos hemos convencido de que difieren en un máximo". Nunca dieron una prueba de esto. En este documento, demostramos una generalización de esta declaración para incrustar hipergrafías en superficies generales, y demostramos que nuestro límite es estrecho.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf