¿Cuántas instancias de 3-SAT son satisfactorias?

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Considere el problema 3-SAT en n variables. El número de posibles cláusulas distintas es:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

El número de instancias problema es el número de todos los subconjuntos del conjunto de posibles cláusulas: . Trivialmente, para cada , existen al menos una instancia satisfactoria y una instancia no satisfactoria. ¿Es posible calcular, o al menos estimar, el número de instancias satisfactorias para cualquier n dado? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
fuente

Consulte también la pregunta relacionada cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon el

¿Te importaría explicar cómo obtienes la fórmula de conteo? ¿De dónde viene el 3! vienen de, etc?

— Yan King Yin

Otra pregunta para novatos: si el número total de configuraciones (es decir, asignaciones de verdad) es , esto significa que muchas asignaciones de verdad no pueden expresarse por ninguna instancia problemática. Eso es contra-intuitivo para mi conocimiento de que las fórmulas booleanas están completas en el sentido de que pueden expresar cualquier tabla de verdad. ¿Cuál es el problema aquí?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

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Una larga historia de trabajo sobre las transiciones de fase en SAT ha demostrado que para cualquier fijo , hay un umbral parametrizado por la relación de número de cláusulas a que decide la satisfacción. Hablando en términos generales, si la proporción es menor a 4.2, entonces con una probabilidad abrumadora la instancia es satisfactoria (y por lo tanto, una gran fracción del número de instancias con estas muchas cláusulas y variables es satisfactoria). Si la proporción está ligeramente por encima de 4.2, entonces lo contrario se cumple, una fracción abrumadora de instancias no es satisfactoria. $n$ $n$

Las referencias son demasiadas para citarlas aquí: una fuente de información es el libro de Mezard y Montanari . Si alguien tiene fuentes para encuestas, etc. sobre este tema, podría publicarlo en comentarios o editar esta respuesta (lo haré en sentido horario)

Referencias:
- Encuesta de Achlioptas
- Dónde están los problemas realmente difíciles
- Refinando la transición de fase en la búsqueda combinatoria

— Suresh Venkat
fuente

Eso es muy interesante. ¿Cuál es la "probabilidad abrumadora"? ¿Es esto algo así como el 75% o el 99.9999%?

— Philip White el

No recuerdo, para ser honesto. se parametriza por la distancia de la relación desde el punto de cambio y actúa como un sigmoide (por lo que va a 1 muy rápidamente). Las encuestas vinculadas probablemente tengan más detalles

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh: Sí, es una "discontinuidad" muy rápida. Si ve las gráficas, la probabilidad de ser satisfecho cambia abruptamente de casi 1 a casi 0. Es interesante que el umbral dependa de . Además, es interesante que todo este comportamiento parece ser válido solo para instancias aleatorias.

k

$k$

— Giorgio Camerani

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Por un lado, la gran mayoría de las instancias serán insatisfactorias, como se dijo en el comentario de Suresh. (De hecho, supongo que si muestra una de estas instancias de manera uniforme al azar, ya debería tener una buena probabilidad de incluir las ocho negaciones como cláusulas para algún triple variable, es decir, trivialmente insatisfactorio). $2^{|C|}$

Por otro lado, podemos limitar el número de instancias satisfactorias por el número que satisface la asignación de todo cero: estos serían , como para cada triplete de variables allí es una cláusula que no podemos usar. $2^{(7/8)|C|}$

Entonces se puede limitar el número de instancias satisfactorias multiplicando esto por . Dado que , supongo que esto solo cambia un término de orden menor ya ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
fuente

Cuando comencé mis estudios de doctorado, demostré que si el número de cláusulas para SAT era mayor que , esas instancias eran insatisfactorias. También probé que si el número de cláusulas estaba entre el intervalo entonces esas instancias eran satisfactoriamente únicas o Insatisfactorio. No recuerdo la derivación de 3-SAT en la parte superior de mi cabeza. Ok

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun paga el

4

Esta respuesta solo se ocupa de la tasa de crecimiento del número de instancias satisfactorias.

$A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
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