Representación compacta del conjunto de soluciones de una instancia SAT

Esta pregunta ha surgido en mi mente después de leer las contribuciones de András Salamon y Colin McQuillan a mi pregunta anterior Soluciones de conteo de fórmulas Monotone-2CNF .

EDITAR 30 ^ª Mar 2011
pregunta Agregado n ° 2.

EDITAR 29 ^º Oct 2010
Pregunta reformuló después de la propuesta András su formalización a través de la noción de buena representación de un conjunto de soluciones (He modificado su noción un poco).

Sea una fórmula genérica de CNF con variables. Sea su conjunto de soluciones. Claramente puede ser exponencial en . Dejar $F$ $n$ $S$ $|S|$ $n$ ser una representación de . Se dice que esbuenosi y solo si los siguientes hechos son ciertos: $R$ $S$ $R$

tiene un tamaño polinómico en . $R$ $n$
permite enumerar las soluciones en con retraso polinómico. $R$ $S$
permite determinaren tiempo polinómico (es decir, sin enumerar todas las soluciones). $R$ $|S|$

Sería genial si fuera posible, en tiempo polinómico, construir tal para cada fórmula. $R$

Preguntas:

¿Alguien demostró alguna vez que existe una familia de fórmulas para las que no puede existir una representación tan agradable ?

¿Alguien estudió la relación entre la representación de y las simetrías exhibidas por ? Intuitivamente, las simetrías deberían ayudar a representar de manera compacta porque evitan la representación explícita de un subconjunto de soluciones cuando reduce a una sola solución (es decir, de cada puede recuperar cada otro aplicando una simetría adecuada, por lo tanto cada es representativo del todo $S$ $F$ $S$ $S' \subset S$ $S'$ $s_i \in S'$ $s_j \in S'$ $s_i \in S'$ ) $S'$

— Giorgio Camerani
fuente

Creo que debes restringir un poco tu pregunta. Como se ha indicado, la fórmula

en sí es una representación polinómica de tamaño de

. Pero esto obviamente no ayuda para la motivación que viene del problema anterior. Tal vez desee algún límite (¿polinomio?) Sobre la complejidad de reproducir

(o tal vez un solo elemento de

, o computación

) de la representación de tamaño polinómico ...

F

$F$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

| S |

$|S|$

— Joshua Grochow

@ Joshua: Tienes razón, gracias. He enriquecido la pregunta para aclarar. Por favor, avíseme si está bien ahora.

— Giorgio Camerani

Por cierto, una forma de representar el conjunto de soluciones es un "árbol de búsqueda AND / OR". Cada instancia es una hoja del árbol, y se puede contar sin enumerar todas las soluciones.

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Interesante ... ¿podría explicarnos más?

— Giorgio Camerani

Respuestas:

Como se indicó (revisión 3), la pregunta tiene una respuesta simple: no.

La razón es que incluso para la clase altamente restringida de representaciones dadas por circuitos booleanos con compuertas AND, OR y NOT, no se conocen límites inferiores no triviales. (Claramente, un circuito que representa también representará implícitamente, y es fácil enumerar las soluciones cambiando las entradas al circuito). $F$ $S$

Para representaciones aún más restringidas, como circuitos monótonos o de profundidad constante, se conocen límites inferiores exponenciales. También hay límites inferiores exponenciales para representar fórmulas en forma CNF o DNF, aunque estos pueden verse como casos especiales de circuitos de profundidad constante. Finalmente, las representaciones de BDD pueden verse como formas compactas de DNF, pero existen fórmulas para las cuales el BDD requiere un tamaño exponencial para cualquier ordenamiento variable.

Para hacer su pregunta más precisa, considere la respuesta de @ Joshua con algún detalle y aclare lo que quiere decir con "trivial para enumerar cada solución".

Para la revisión 4, tenga en cuenta la declaración sobre el tamaño de BDD. Parte de lo que parece estar preguntando es: ¿hay una representación más compacta de las fórmulas DNF que las BDD? Supongamos que "BDD tiene un tamaño superpolinomial" significa "cada BDD que representa la misma función que , independientemente del orden de las variables, tiene un tamaño superpolinomial", y que "buena representación" significa "una representación que permite enumerar las soluciones con retraso polinomial". Esta pregunta más específica se convierte en: $B$ $B$

¿hay una familia de fórmulas y una buena representación que tenga un tamaño polinómico mientras que sus BDD tengan un tamaño superpolinómico?

¿Captura esto la esencia de lo que estás preguntando?

— András Salamon
fuente

@ András: agregué una sección de aclaraciones.

— Giorgio Camerani

@ András: Pido disculpas si mi pregunta carece de precisión. Su oración "¿hay una representación más compacta de las fórmulas DNF que las BDD?" captura la esencia de lo que estoy preguntando. Tal representación más compacta tendría que ser posible para cada fórmula (incluso aquellas que tienen un número superpolinómico de soluciones).

— Giorgio Camerani

@ András: Hola, he pensado un poco más al respecto. Una mejor captura de la esencia de lo que estoy preguntando es la pregunta "¿Existe una buena representación que tenga un tamaño polinómico para cada fórmula?" . Dicha representación debe ser la "mejor de todas", independientemente de cómo se comporten los BDD en comparación con ella. Su sugerencia de retraso polinomial encaja perfectamente con la idea que tengo en mente.

— Giorgio Camerani

@Walter: podría valer la pena editar la pregunta de acuerdo con esa reformulación, o publicar una nueva pregunta.

— András Salamon

@ András: He reformulado la pregunta. La definición de buena representación ha cambiado un poco (he asumido que era un término de su invención en lugar de un término bien establecido en la literatura, ¿no es así?).

— Giorgio Camerani

[Esta respuesta fue en respuesta a la versión anterior a la Revisión 6 del 29 de octubre de 2010.]

Creo que la pregunta funciona más o menos ahora, pero queda un problema técnico. A saber, cómo formalizar "es trivial enumerar todas las soluciones con solo mirar esa estructura". Una formalización quizás ingenua (pero la única que se me ocurrió en este momento) es la siguiente: dejemos que denote la representación del conjunto de soluciones de . Por el momento no pongo ninguna restricción en aparte de eso donde $R(\varphi)$ $S(\varphi)$ $\varphi$ $R$ $|R(\varphi)| \leq poly(n)$ $\varphi$ es un CNF en variables. Entonces queremos que haya un algoritmo tal que y en la entrada ejecute en el tiempo . $n$ $A$ $A(R(\varphi)) = S(\varphi)$ $A$ $R(\varphi))$ $poly(n, |S|)$

Bajo esta formalización, los únicos casos difíciles son aquellos en los que es superpolinomial pero sub-exponencial. Los casos restantes se manejan mediante la siguiente representación y el algoritmo : si , entonces sea . Si entonces deje $S$ $R$ $A$ $|S| \leq poly(n)$ $R(\varphi) = (0, S)$ $|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ . simplemente genera , y simplemente calcula por la fuerza bruta de . Desde en el último caso, esto todavía se ejecuta en el tiempo . $R(\varphi) = (1, \varphi)$ $A(0, S)$ $S$ $A(1, \varphi)$ $S$ $\varphi$ $|S| = 2^{\Omega(n)}$ $O(|S|)$

Sin embargo, los casos difíciles son en general imposibles bajo esta formalización. Si un tal y existían, significaría que el -tiempo-delimitada complejidad Kolmogorov de cada se delimitada por , que es absurdo (ya que casi todos los conjuntos tienen máxima -tiempo-limitado Complejidad de Kolmogorov, concretamente ). (Aquí es el tiempo de ejecución de en función de .) $R$ $A$ $p$ $S$ $poly(n)$ $S$ $p$ $|S|$ $p$ $A$ $|S|$

(Tenga en cuenta que si además requerimos que ejecute en el tiempo , la respuesta a la pregunta es no en general, suponiendo que : if tiene una solución única, entonces resolvería y correría a tiempo . $R$ $poly(n, |\varphi|)$ $P \neq PromiseUP$ $\varphi$ $A(R(\varphi))$ $\varphi$ $poly(n)$

— Joshua Grochow
fuente

R

$R$

A

$A$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1,\varphi)$

R

$R$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

S

$S$

n

$n$

O (| S |)

$O(|S|)$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

φ

$\varphi$