No sé dónde se demostró esto por primera vez, pero dado que EdgeCover tiene una expresión como un problema de Holant de dominio booleano, está incluido en muchos teoremas de dicotomía de Holant.
EdgeCover se incluye en el teorema de dicotomía en (1). El teorema 6.2 (en la versión de diario o el teorema 6.1 en la preimpresión) muestra que EdgeCover es # P-hard sobre gráficos planos 3 regulares. Para ver esto, la expresión de EdgeCover como un problema de Holant en gráficos de 3 regulares es (o reemplace [ 0 , 1 , 1 , 1 ] con [ 0 , 1 , ... , 1 ] que contiene k 1 para el mismo problema sobre kHolant([0,1,1,1])[0,1,1,1][0,1,…,1]kk-Gráficos regulares). Esta notación enumera la salida de una función simétrica en orden de peso de Hamming de entrada. Para algún subconjunto de los bordes del conjunto (que consideramos que se le asigna 1 y el conjunto del complemento se le asigna 0), la restricción en cada vértice es que al menos un borde se le asigna 1, que es exactamente lo que la función [ 0 , 1 , 1 , 1 ] . Para un subconjunto fijo de bordes, su peso es el producto de las salidas de [ 0 , 1 , 1 , 1 ][0,1,1,1][0,1,1,1][0,1,1,1]en cada vértice Si algún vértice no está cubierto, contribuye con un factor de . Si todos los vértices están cubiertos, todos los vértices contribuyen con un factor de 1 , por lo que el peso también es 1 . Luego, Holant debe sumar todos los subconjuntos posibles de bordes y agregar el peso correspondiente a cada subconjunto. Este valor de Holant es exactamente el mismo si subdividimos cada borde e imponemos la restricción de que ambos bordes incidentes a estos nuevos vértices deben ser iguales. Usando la notación de función simétrica, esta función de igualdad binaria es [ 1 , 0 , 1 ] . Este gráfico es bipartito. Los vértices en una parte tienen el [ 0 , 1 ,011[1,0,1] mientras que los vértices en la otra parte tienen larestricción [ 1 , 0 , 1 ] . La expresión para esto como un problema de Holant es Holant ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) . Luego puede verificar por sí mismo esa fila " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " y la columna " [ 1 , 0[0,1,1,1][1,0,1]Holant([0,1,1,1]|[1,0,1])[0,1,1,1] "de la tabla cerca del teorema citado anteriormente contiene" H ", lo que significa que el problema es # P-hard incluso el gráfico de entrada debe ser plano.[1,0,1]
Nota al margen: tenga en cuenta que Pinyan Lu es autor de este documento y del primer documento que cita. Supongo que cuando su artículo dice "contar las cubiertas de los bordes es un problema # P-completo incluso cuando restringimos la entrada a 3 gráficos regulares", estaban citando implícitamente (1). Probablemente no mencionaron que la dureza también se mantiene cuando se restringe aún más a los gráficos planos, ya que su FPTAS no necesita esta restricción.
Más tarde, los teoremas de dicotomía de Holant, como los de las versiones (2,3) (conferencias y revistas del mismo trabajo) demostraron más. El teorema 1 (en ambas versiones) dice que EdgeCover es # P-hard sobre los gráficos planas regulares para k ≥ 3 . Para ver esto, necesitamos aplicar una transformación holográfica. Como se describió anteriormente, la expresión de EdgeCover como un problema de Holant sobre gráficos k regulares es Holant ( [ 0 ,kk≥3k , donde [ 0 , 1 , ... , 1 ] contiene kHolant([0,1,…,1])[0,1,…,1]k1's. Y además, esto es equivalente a . Ahora aplicamos una transformación holográfica por T = [ 1 e π i / k 1 0 ]Holant([1,0,1]|[0,1,…,1])T=[11eπi/k0](o su inverso, dependiendo de su perspectiva). Según el Teorema de Holant de Valiant (4,5), esto no cambia la complejidad del problema (de hecho, ambos problemas son en realidad el mismo problema porque están de acuerdo en la salida de cada entrada ... solo la expresión del problema ha cambiado ) La expresión alternativa para este problema es
donde = k es la función de igualdad en
Holant([1,0,1]T⊗2|(T−1)⊗k[0,1,…,1])=Holant([2,eπi/k,e2πi/k]|=k),
=k entradas. Para aplicar el Teorema 1, tenemos que normalizar
[ 2 , e π i / k , e 2 π i / k ] a
[ 2 e - π i / k , 1 , e π i / k ] dividiendo la función original por
e π i / k , que no cambia la complejidad del problema ya que este valor no es cero. Entonces los valores
X e
Yk[2,eπi/k,e2πi/k][2e−πi/k,1,eπi/k]eπi/kXYen el enunciado del teorema son
e
Y = - 2 k - 1 . Para
k ≥ 3 , se puede verificar que este problema, por lo tanto, EdgeCover también es # P-duro sobre los gráficos planas
k- regulares para
k ≥ 3 .
X=2Y=−2k−1k≥3kk≥3
Nota al margen: también se puede ver este teorema y prueba en la tesis de Michael Kowalczyk .
Continuaré mi búsqueda de literatura para ver que EdgeCover demostró ser # P-hard antes (1).
(1) Reducción holográfica, interpolación y dureza por Jin-Yi Cai, Pinyan Lu y Mingji Xia ( diario , preimpresión ).
(2) Una dicotomía para -Gráficos regulares con { 0 , 1 } -Asignaciones de vértices y funciones de borde realk{0,1} por Jin-Yi Cai y Michael Kowalczyk.
(3) Funciones de partición en -Gráficos regulares con { 0 , 1 } -Asignaciones de vértices y funciones de borde realk{0,1} de Jin-Yi Cai y Michael Kowalczyk.
(4) Algoritmos holográficos de Leslie G. Valiant
(5) Teorema Holant de Valiant y tensores de compuerta de Jin-Yi Cai y Vinay Choudhary