Dimensión VC de los cilindros dentro de un cilindro

Deseo saber la dimensión VC de un espacio de rango construido de la siguiente manera:$(X,\mathcal{R})$

1. $X$ es el cilindro $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\}$
2. Los rangos en $\mathcal{R}$ se forman tomando la unión de discos circulares de manera que:
   • el plano que contiene el disco es ortogonal al eje z ("apilamos" los discos en la dirección z)
   • un disco es tangente al límite del cilindro en el punto $(1,0,z)$
   • un disco tiene un diámetro $f(z)+1$ , donde $f(z)$ está limitado (estrictamente) por $-1<f(z)<1$ , y aumenta estrictamente monotónicamente, disminuye estrictamente monotónicamente o es constante.
3. Cualquier conjunto construido girando uno de estos rangos sobre el eje z en un ángulo arbitrario también es un rango.

Intuitivamente, imagina tomar un conjunto de monedas (circulares, por supuesto) y clasificarlas por diámetro, ya sea disminuyendo o aumentando. Luego colóquelos cuidadosamente en un tubo (el cilindro principal) en ese orden, de modo que cada uno descanse sobre el último. Ahora incline el tubo ligeramente para que todos descansen contra el costado del cilindro. Si nuestras monedas tuvieran un grosor cero y tuviéramos una para cada número real, este sería nuestro rango.

Estoy principalmente interesado en el caso de que $f(z)$ sea ​​sigmoide, como la función de error o $\tanh$ . Específicamente, estoy interesado en los rangos cilíndricos formados por la familia de funciones $\tanh(\alpha(z-\beta))$ , donde $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ .

Sé que este espacio de rango tiene al menos VC-dim 4 (puedo construir un conjunto de cuatro puntos que rompe), pero estoy interesado en ponerle un límite superior y entender por qué. Yo sé eso:

1. Los discos circulares en $\mathbb{R}^2$ tienen VC-dim 3
2. Los subconjuntos de la tira que están delimitados arriba o abajo por tienen al menos VC-dim 3, probablemente igual a 3, porque la parte de la pendiente de la función actúa como una línea$\{-1\leq y\leq 1\}\subset\mathbb{R}^2$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\tanh$

¿Hay alguna forma de combinar estos hechos para obtener un límite superior en la dimensión VC ? ¿Hay algo que decir sobre que cumpla con los criterios en (2)?$f(z)$

Necesita la restricción sigmoidea en para que la dimensión VC sea finita. De lo contrario, puede dejar que comporte como una escalera, con arbitrariamente muchos pasos. Entonces estas escaleras pueden tener arbitrariamente muchas intersecciones. Esto permite que rangos admitan subconjuntos diferentes. $f$$f$$n$$2^n$

Si es un polinomio, puede vincular la dimensión VC utilizando el grado del polinomio (combinado con el grado del polinomio (2) que describe el disco). Pero no estoy seguro de cómo aplicar este tipo de resultado para .$f(z)$$\tanh$