¿Es esta una condición equivalente para posets algebraicos?

La definición de "poset algebraico" en retículos y dominios continuos , definición I-4.2, dice que, para todo ,$x \in L$

• el conjunto debe ser un conjunto dirigido, y$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• .$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$

Aquí es un poset, K ( L ) es el conjunto de elementos compactos de L , y ↓ x significa { y ∣ y ⊑ x } .$L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

Me sorprendió un poco la primera condición. Es un argumento fácil demostrar que, si y k 2 son en A ( x ) a continuación, k 1 ⊔ k 2 es también en A ( x ) . Por lo tanto, todos los subconjuntos finitos no vacíos de A ( x ) tienen límites superiores. La única pregunta es si el subconjunto vacío tiene un límite superior, es decir, si A ( x ) no está vacío en primer lugar. Entonces,$k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• ¿Está bien reemplazar la primera condición con no está vacía?$A(x)$
• ¿Cuál es un ejemplo de una situación en la que está vacía?$A(x)$

Nota agregada: ¿Cómo es en A (x)? Primero, dado que k 1 ⊑ x y k 2 ⊑ x , tenemos k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . En segundo lugar, k 1 y k 2 son compactas. Por lo tanto, cualquier conjunto dirigido que vaya "más allá" de ellos debe "pasarlos". Suponga que un conjunto dirigido u también va más allá de k 1 ⊔ k 2 , es decir, k 1 ⊔ k 2 ⊑ ⨆ $k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$. Como ha ido más allá de y k 2 , debe haberlos pasado, es decir, hay elementos y 1 , y 2 ∈ u tales que k 1 ⊑ y 1 y k 2 ⊑ y 2 . Como u es un conjunto dirigido, debe tener un límite superior para y 1 e y 2 , digamos y . Ahora, k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . Esto muestra que$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$$u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ es compacto. Las dos piezas juntas dicen k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

Un ejemplo donde está vacío es el conjunto de números reales R con el orden habitual. No tiene elementos compactos en absoluto.$A(x)$$\mathbb{R}$

$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• $x \leq \infty$$x$

$\infty$

1. ${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. $x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. ${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$