Separaciones de clases de complejidad sin teoremas de jerarquía

Los teoremas de la jerarquía son herramientas fundamentales. Un buen número de ellos se recopiló en una pregunta anterior (consulte ¿Qué jerarquías y / o teoremas de jerarquía conoce? ). Algunas separaciones de clase de complejidad se derivan directamente de los teoremas de jerarquía. Ejemplos de tales separaciones bien conocidas: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

Sin embargo, no todas las separaciones se derivan de un teorema de jerarquía. Un ejemplo muy sencillo es $NP\neq E$ . Aunque no sabemos si alguno de ellos contiene el otro, siguen siendo diferentes, porque $NP$ está cerrado con respecto a las transformaciones polinómicas, mientras que $E$ no lo está.

¿Cuáles son algunas separaciones de clase de complejidad más profundas, incondicionales y no relativizadas para clases uniformes que no se siguen directamente de algún teorema de jerarquía?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
fuente

Creo que es un poco inusual llamar a

N P \neq E

$NP\neq E$ una separación. Además, su desigualdad es por razones triviales y no nos dice nada interesante. AFAIK todas las separaciones de clase de complejidad interesantes para clases de gran complejidad se basan en teoremas de jerarquía (y, a su vez, en diagonalización) en algún momento.

— Kaveh

Es cierto, de hecho es inusual llamar a

N P \neq E

$NP\neq E$ una separación, ya que se mantiene por razones triviales. Solo lo mencioné para mostrar un ejemplo simple donde no se necesita un teorema de jerarquía.

— Andras Farago

Err, la prueba de NP! = E no depende de un teorema de la jerarquía! La forma en que funciona es que primero asume NP = E, luego usa las propiedades de cierre de NP para deducir que E = EXP, violando así el Teorema de la Jerarquía de Tiempo.

— Scott Aaronson

Gracias, Scott, tienes toda la razón.

no fue el ejemplo correcto. Publiqué uno mejor entre las respuestas.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Por lo que incluso estas desigualdades se basan en diagonalización:

pero

. Agradable y no tan trivial después de todo.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

Respuestas:

Me encantaría que me mostraran mal, pero no creo que actualmente haya límites inferiores uniformes que no estén basados en uno de los teoremas de la jerarquía. Nuestra comprensión actual de cómo aprovechar la uniformidad es realmente bastante limitada en ese sentido.

Por otro lado, hay muchos límites inferiores uniformes que no se siguen directamente de los teoremas de jerarquía, pero usan un teorema de jerarquía en combinación con otros trucos, técnicas y resultados inteligentes, por ejemplo:

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Prueban que (la parte de no diagonalización de su prueba), y luego usan el hecho de que $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ en combinación con la jerarquía espacial. Su resultado + la jerarquía espacial también implica . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Compromisos entre el espacio y el tiempo para la Satisfacción (ver, por ejemplo, las introducciones de Buss-Williams y referencias allí)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Utiliza una simulación no trivial de cualquier máquina de tiempo superlineal determinista por una máquina de cuatro alternancias más rápida, en combinación con la jerarquía de tiempo determinista. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Límites inferiores uniformes en el permanente [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[Williams] (aunque técnicamente este es un límite inferior no uniforme, utiliza un montón de ideas inteligentes en combinación con la jerarquía de tiempo no determinista) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
fuente

¿Es la separación de Smolensky algo que has estado buscando? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
fuente

Gracias, que es un buen resultado, pero estoy en busca de separaciones de

clases, no a clases de circuito.

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago

@AndresFarago: Uniform AC ^ 0 también se incluye correctamente en el uniforme TC ^ 0.

— Emil Jeřábek apoya a Monica

@ EmilJeřábek: ¿Existe una prueba de que el uniforme

está contenido adecuadamente en el uniforme

que tampoco prueba la declaración no uniforme? (De lo contrario, parecería que su ejemplo cae bajo el principio general de que los límites inferiores no uniformes son más fuertes que los límites inferiores uniformes, y creo que el OQ estaba tratando de evitar tales respuestas ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Joshua Grochow

Creo que la no uniformidad en las pruebas es secundaria al hecho de que estas son clases bastante pequeñas en las que tenemos una buena comprensión combinatoria / algebraica de ellas. Es decir, los entendemos lo suficientemente bien como para construir directamente un objeto que no está en ellos. Donde están las clases más grandes no existe tal comprensión y, por lo tanto, el único método que conocemos es hacer una diagonalización contra toda la clase para construir tales objetos.

— Kaveh

Otro ejemplo no trivial proviene del área de la complejidad promedio de los casos. Rainer Schuler demuestra propiedades interesantes de la clase que él llama , ver [1]. $P_{P-comp}$

es la clase de lenguajes que se aceptan en tiempo polinómico con unpromedio paracadadistribución detiempo polinómico computable (P-computable) . Naturalmente, cumple, ya que la existencia de un algoritmo determinista de polytime implica que sigue siendo eficiente en promedio, sin importar cuál sea la distribución de entrada. Sin embargo, la condición de ejecución en tiempo polinómico promedio paracadadistribución de entrada computable P parece lo suficientemente fuerte como para sospechar $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ . $P_{P-comp}=P$

Sorprendentemente, Schuler demuestra que existe un lenguaje , que es Turing completo para , es decir, $L\in P_{P-comp}$ $E$ Esto implica la separación incondicional . Si bien este último también utiliza el hecho , que se deriva del Teorema de la Jerarquía del Tiempo, la parte novedosa (*) se basa en diferentes herramientas: más allá de la diagonalización, emplea la medida limitada por los recursos y la complejidad de Kolmogorov.

mi \subseteq {PAG}^{{PAG}_{PAG - C o metro pag}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

Referencia:

[1] R. Schuler, "El cierre de la tabla de la verdad y el cierre de Turing del tiempo polinómico promedio tienen diferentes medidas en CAD", CCC 1996, pdf

— Andras Farago
fuente