¿Cuál es la complejidad de este problema de ruta?

Instancia: Un gráfico no dirigido con dos vértices distinguidos , y un entero . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Pregunta: ¿Existe una ruta en , de modo que la ruta toque a lo sumo vértices? (La ruta toca un vértice si el vértice está en la ruta o tiene un vecino en la ruta). $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
fuente

Esto suena como una minimización submodular restringida. Desafortunadamente, no está claro que el conjunto de restricciones admita una solución eficiente.

— Suresh Venkat

Mi respuesta de

era probablemente incorrecta! Después de verificar más cuidadosamente, la heurística no parece ser monótona.

A^{*}

$A^*$

— usul

Siguiendo el comentario de Suresh, vale la pena revisar el documento "Aproximación de problemas combinatorios con funciones de costo submodular de múltiples agentes" que muestra que el camino más corto del costo submodular es difícil. Tal vez hay ideas allí que muestran dureza. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri

Este problema puede ser reformulada como encontrar un sub-gráfico oruga con en la mayoría de

vértices que incluye

en su camino más largo.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu

@Obinna, se requiere que el sub-gráfico de oruga sea máximo en cierto sentido, porque debemos incluir a todos los vecinos del camino más largo

— SamM

Respuestas:

Este problema fue estudiado en:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: Problemas de conectividad aislada. ESA 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Lo llamaron problema de camino aislado. De hecho, es NP-hard, y la versión de optimización no tiene una aproximación de factor constante.

La motivación que proporcionan los autores es un entorno donde la información se envía a través de la ruta, y solo los vecinos y los nodos en la ruta pueden verla. El objetivo es minimizar la exposición.

— usuario20655
fuente

Editar: consulte la respuesta de user20655 a continuación para obtener una referencia a un documento que ya demuestra la dureza de este problema. Dejaré mi publicación original en caso de que alguien quiera ver esta prueba alternativa.

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Considere una instancia de MIN-SAT, que es un problema NP-difícil , que consta de variables y cláusulas . Reduciremos esto a su problema de ruta. $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

Tendremos dos vértices para cada (uno para la forma negada y otro para el innecesario) y un vértice para cada . Además, dejando , tendremos vértices para el relleno. $x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

Hablando en términos generales, construiremos un gráfico donde la solución óptima será construir una ruta de a utilizando sy s como nodos intermedios. El costo de esta ruta será exactamente el s que la ruta que elegimos satisfaría si la convirtiéramos en una tarea. Los s están ahí para evitar que la solución óptima pueda hacer trampa haciendo un atajo a través de cualquiera de los s. $s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

Conecte a cualquier cláusula en la que aparezca y a cualquier cláusula en la que aparezca . Para forzar una asignación de las variables, hacemos una estructura en forma de escalera de diamante, donde y están conectados a cada uno de y . está conectado a y $x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ yestá conectado tanto ay . Finalmente, cadaestá conectado a todas las variables de relleno. No tengo a mano mi software para dibujar gráficos, así que aquí hay un diagrama (extremadamente) crudamente dibujado de esta construcción: $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Construcción de la instancia dura

(Tenga en cuenta que la nube aquí es solo un gran conjunto de vértices, y cada borde grueso de a esta nube representa que está conectado a cada vértice de este conjunto). $\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

La afirmación es que en la solución óptima para el problema de la ruta de contacto mínimo, el número de vértices que tocarán la ruta es , donde es la solución óptima para la instancia MIN-SAT. Esto es porque $Q + 2n + 2$ $Q$

La ruta debe comenzar en terminar en , y la mejor manera de hacerlo sin recopilar todos los vértices de relleno es continuar yendo de a sin recopilar nunca y para cualquier $s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (esto es intuitivo, ya que eliminar una de las dos opciones de cualquier variable elegida dos veces produce una ruta válida con un costo no mayor que si hubiéramos mantenido ambas).
Hay una solución de costo a lo sumo que va , no recolectando nada fuera de , , , y . Dado que cualquier ruta que obtenga algún relleno debe contener al menos , , alguna $m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ , algunos y , y todo , tiene un costo de , por lo que es subóptimo. Por lo tanto, la solución óptima no toca ninguno de los vértices de relleno, por lo que la ruta debe continuar como se describe en la parte (1). $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
fuente