¿Aproximación del automorfismo gráfico no trivial?

Graph automorphism es una permutación de nodos de gráfico que induce una biyección en el conjunto de aristas $E$ . Formalmente, es una permutación $f$ de nodos como $(u,v)\in E$ iff $(f(u),f(v))\in E$

Defina un borde violado para alguna permutación como un borde que se asigna a no borde o un borde cuya preimagen es no borde.

Entrada : un gráfico no rígido $G(V, E)$

Problema : encuentre una permutación (sin identidad) que minimice el número de bordes violados.

¿Cuál es la complejidad de encontrar una permutación (sin identidad) con un número mínimo de bordes violados? ¿Es difícil el problema para gráficos con un grado máximo acotado $k$ (bajo un supuesto de complejidad)? Por ejemplo, ¿es difícil para los gráficos cúbicos?

Motivación: El problema es una relajación del problema del automorfismo gráfico (GA). El gráfico de entrada puede tener automorfismo no trivial (por ejemplo, gráfico no rígido). ¿Qué tan difícil es encontrar un automorfismo aproximado (permutación de armario)?

Editar 22 de abril

Un gráfico rígido (asimétrico) solo tiene automorfismo trivial. Un gráfico no rígido tiene cierta simetría (limitada) y me gustaría entender la complejidad de aproximar su simetría.

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

El problema es trivial, la permutación de identidad siempre es óptima.

— Jukka Suomela

@ Jukka, en el problema del Automorfismo de gráficos buscamos el automorfismo no trivial. Del mismo modo, aquí no estoy interesado en la permutación de identidad.

— Mohammad Al-Turkistany

De hecho, estoy sugiriendo que podría estar haciendo la pregunta incorrecta ... Quizás sería útil si dijera su motivación o aplicación.

— Jukka Suomela

El problema es una relajación del problema del automorfismo gráfico (GA). El gráfico de entrada puede tener automorfismo no trivial. ¿Qué tan difícil es encontrar un automorfismo aproximado (permutación de armario)?

— Mohammad Al-Turkistany

No entiendo por qué se limita a gráficos no rígidos, donde el valor óptimo real es cero. En gráficos rígidos, el factor de aproximación puede ser más interesante.

— Derrick Stolee

Respuestas:

$G$ $H$ $\epsilon$

$G$ $H$
$G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

La métrica de complejidad es el número de sondas a las matrices de adyacencia, y el objetivo es distinguir los dos casos con alta probabilidad utilizando un número sublineal de sondas.

Eldar Fischer y Arie Matsliah ( gracias, arnab ) tienen un artículo en SODA 2006 sobre precisamente este problema. Si bien no se conecta directamente con su problema, puede ser una forma de formular un posible problema, e incluso podría proporcionarle técnicas útiles.

— Suresh Venkat
fuente

De hecho, este problema también es interesante.

— Mohammad Al-Turkistany

Solo una corrección: ese documento es conjunto con Arie Matsliah.

— arnab

Si consideramos que y son el mismo gráfico, podemos garantizar que tengamos menos de colisiones en una permutación no trivial intercambiando cualquier par de vértices. Esto es mucho menor que .

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— Derrick Stolee

Un resultado de Eugene Luks ("El isomorfismo de los gráficos de valencia limitada se puede probar en tiempo polinomial ") muestra que el isomorfismo gráfico (o automorfismo) para gráficos de grado limitado está en tiempo polinomial. Por lo tanto, si está buscando algo (no identidad, como señaló Jukka) de casi automorfismo para gráficos cúbicos que no son rígidos, entonces podemos usar el algoritmo de Luks y tomar cualquier automorfismo no trivial en el gráfico.

— Ramprasad
fuente

Leí el documento y entiendo que resuelve el problema de decisión de GA de grado acotado en tiempo polinómico. Mi pregunta es un problema de optimización. Además, no puede excluir gráficos rígidos.

— Mohammad Al-Turkistany