Categorías algebraicamente compactas

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Leí el artículo de Freyd "Algebraically Complete Categories" en el famoso Como90 y tengo dos preguntas sobre la noción de compacidad algebraica que definió en ese artículo. (Si no está familiarizado con la definición, aquí está: una categoría se llama algebraicamente compacta si cada endofunctor tiene un álgebra inicial y un coálgebra final que son canónicamente isomórficos).

  1. ¿Cuáles son algunos ejemplos de categorías algebraicamente compactas? Freyd menciona un ejemplo, pero estrictamente hablando, la condición en la definición es válida solo para ciertos finalistas de interés. Al leer otros documentos (como "Programación funcional con plátanos, lentes, sobres y alambre de púas"), supongo que esa categoría de cpo's, omega-cpo's o categorías enriquecidas sobre (omega-) cpo's son algebraicamente compactas. ¿Cuál es la referencia estándar para este hecho?

  2. Freyd dice que la definición está motivada por el "director de la versalidad" y, al ser un hablante no nativo de inglés, estoy confundido. En primer lugar, creo que debería ser principio, no principal. Además, ¿qué es la versalidad? ¿Quiere decir versatilidad? ¿Es este un juego de palabras como (uni) versality?

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— sonat
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2
Al no ser un experto en "Categorías algebraicamente completas", no quiero que esto sea una respuesta, pero al ser un hablante nativo de inglés ... en su n. ° 2, "principal" parece ser un error tipográfico completo, especialmente porque usa mal la palabra nuevamente, pero en un contexto gramatical diferente, en la siguiente oración también. Debería haber usado el "principio". Por otro lado, "versalidad" - de la palabra "versal" - es un acortamiento (arcaico) de "universalidad" / "universal". Ahora, no soy de los que discuten con un autor NOMBRANDO cosas, pero // parece // quería decir "Principio de universalidad"
— Daniel Apon
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Permítanme modificar lo anterior: "versality" puede tener una definición formal distinta de "universalality" en su contexto; Por favor verifique esto. :) Por ejemplo, vea el apéndice de arxiv.org/pdf/1109.6093v4.pdf
— Daniel Apon
Estoy de acuerdo en que "versal" no es lo mismo que "universal". Por ejemplo, existe la noción de deformación versal en la teoría de la singularidad, aproximadamente significa que se incluyen todas las deformaciones posibles, pero tal vez no de manera única, es decir, pueden ocurrir varias veces.
— მამუკა ჯიბლაძე
Creo que es especialmente importante distinguirlos en informática. P.ej. Para la mayoría de los conjuntos enumerables, cada enumeración posible alcanza infinitos elementos del conjunto infinitas veces. Uno-a-uno ( " uni Versal") enumeraciones son raros.
— მამუკა ჯიბლაძე

Respuestas:

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Encontré la referencia para categorías similares a CPO. El papel de Scott Continuous Lattices en el libro Toposes, Algebraic Geometry and Logic . Se explica en los comentarios justo después del corolario 4.3. Se puede encontrar un teorema más general en la solución teórica de categoría de papel de Smyth y Plotkin de ecuaciones de dominio recursivo . Es el lema 2.

Sin embargo, nuevamente, los functores no son arbitrarios. Se necesita algún tipo de suposición de continuidad.

— sonat
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