Complejidad del problema de decisión de conjunto independiente comparativo

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Considere el siguiente problema:

Entrada: (G1, G2) donde G1 y G2 son gráficos no dirigidos

Pregunta: ¿El tamaño del conjunto independiente máximo de G1 es al menos tan grande como el tamaño del conjunto independiente máximo de G2?

Parece una pregunta bastante natural, y, sin embargo, no he podido encontrar una clase de complejidad para la cual este problema esté completo. ¿Alguien sabe de eso? Como punto de partida, se ve fácilmente que el problema es NP-hard y está contenido en P con acceso a un oráculo NP con registro de muchas consultas.

cc.complexity-theory

— Daniel Grier
fuente

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También es co-NP-hard, de hecho, dado un gráfico

y un entero

, usando un dum

con un conjunto máximo independiente de tamaño

(por ejemplo, una ruta de longitud

) puede construir una reducción de muchos de ambos el problema de NPC "¿

contiene un conjunto independiente de tamaño

?" y su complemento (intercambiando

y

).

G_{1}

$G_1$

k

$k$

G_{2}

$G_2$

k

$k$

2 k

$2k$

G_{1}

$G_1$

\geq k

$\geq k$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

— Marzio De Biasi

2

Este problema es completo para la clase de máquinas de Turing de tiempo polinomial con acceso a un oráculo NP con registro de muchas consultas (también conocido como ). El resultado aparece en un documento de 2000 FST TCS de Spakowski y Vogel titulado " -Completeness: A Classical Approach for New Results". La prueba presentada allí y una prueba a la que llegué de forma independiente se basan en el criterio de compleción de Wagner ("SIAM", "Bounded Query Classes", Archivo Volumen 19, Número 5, octubre de 1990). $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$

— Daniel Grier
fuente

1

Parece que su problema es Turing completo para la clase . Como se mencionó en la pregunta, ya sabes que pertenece a esta clase. Para mostrar la integridad de Turing, uno puede notar que tomar un conjunto independiente de tamaño para nos permite determinar (usando la tarea como un oráculo) si el conjunto independiente máximo en es . Repitiendo esto con la búsqueda binaria de , podemos determinar la ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $l$ $G_1$ $G_2$ $\leq l$ $1\leq l \leq n$ Tamaño del conjunto independiente máximo en . $exact$ $G_2$

Aplique lo anterior a los complementos del gráfico para determinar el tamaño exacto de la camarilla máxima en , en lugar del conjunto independiente. Habiendo determinado el tamaño de la camarilla máxima, podemos decidir si es divisible por un número dado . Entonces podemos invocar el resultado de que decidir si el tamaño máximo de la camarilla de un gráfico es divisible por un número dado es completo para (ver Krentel, "La complejidad de los problemas de optimización", J. of Computer and System Sciences, 36 (1988/3), págs. 490–509, Teorema 3.5) $G_2$ $k$ ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$

Si bien el resultado referenciado de Krentel demuestra la integridad del problema en , la reducción anterior solo muestra la integridad de Turing, ya que en la búsqueda binaria tenemos que llamar al oráculo varios ( ) veces. ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $\log n$

— Andras Farago
fuente

1

Parece que lo simple de codificar todas las consultas de Oracle oracle en instancias de este problema sería igual de bueno. Además, dado que este argumento puede repetirse con cualquier lenguaje NPC, no parece revelar nada sobre el poder de este lenguaje.

— Daniel Grier

Tienes razón, pasé por alto que el mismo argumento podría hacerse usando, por ejemplo, el problema más simple de Conjunto Independiente (o, para el caso, con cualquier problema de NPC). Lo que sin duda sería más interesante es demostrar que este problema de Conjunto Independiente Comparativo está completo para la clase mencionada.

— Andras Farago

0

Su problema es también mucho-uno difícil para implicaciones entre los casos de NP.

Reduzca el lado derecho de la implicación a un conjunto independiente de cualquier manera conveniente, y reduzca el lado izquierdo de la implicación a un conjunto independiente de una manera que garantice que el gráfico no pueda tener un conjunto independiente mayor que el tamaño objetivo. $\:$ (Por ejemplo, reduzca a CNF-SAT y luego aplique esta reducción a pesar de tener una instancia general de CNF-SAT en lugar de necesariamente una instancia de 3-SAT). $\:$ Agregue un número de vértices aislados igual a la diferencia entre los tamaños de destino
a cualquier tamaño de objetivo de instancia que sea menor, y aumente el tamaño de objetivo de instancias en el
mismo número. $\:$ Obviamente, esto da una instancia equivalente y hace que los tamaños objetivo resultantes sean iguales. $\:$ Si el tamaño del objetivo es cero, devuelva la instancia vacía de su problema, de lo
contrario agregue [tamaño del objetivo menos uno] vértices aislados al gráfico correspondiente a la instancia en
el lado derecho de la implicación y conecte cada uno de ellos a todos los vértices que estaban allí
antes de esta oración y regresan con G1 igual a ese gráfico y G2 igual al otro gráfico.

(Además, los casos de problemas pueden ser trivialmente mucho-uno
reducido a conjunciones de implicaciones entre instancias NP).