Cuando se nos da una descomposición de árbol de un gráfico con ancho w , hay varias formas en que podemos hacer que sea "agradable". En particular, se sabe que es posible transformarlo en una descomposición del árbol donde el árbol es binario y su altura es O ( log n ) . Esto se puede lograr manteniendo el ancho de la descomposición como máximo 3 w . (Ver, por ejemplo, "Algoritmos paralelos con velocidad óptima para el ancho del árbol acotado", por Bodlaender y Hagerup). Entonces, la profundidad logarítmica es una propiedad de la descomposición de un árbol que podemos obtener casi gratis.
Mi pregunta es si existe un resultado similar para el ancho de la camarilla, o tal vez un contraejemplo. En otras palabras, dada una expresión de ancho de camarilla para usando k etiquetas, ¿siempre existe una expresión de ancho de camarilla de altura O ( log n ) para G , que usa como máximo f ( k ) etiquetas? Aquí, la altura se define naturalmente como la altura del árbol de análisis de la expresión de ancho de camarilla.
Si no se conoce un enunciado similar al anterior, ¿hay un ejemplo de un gráfico vértices G con un ancho de camarilla pequeño k , de modo que la única forma de construir G con etiquetas f ( k ) sea usar una expresión con gran ¿profundidad?