Problemas NP-hard en caminos

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todo el mundo sabe que existen muchos problemas de decisión que son NP-hard en gráficos generales, pero estoy interesado en problemas que son incluso NP-hard cuando el gráfico subyacente es un camino. Entonces, ¿me pueden ayudar a resolver esos problemas?

Ya he encontrado una pregunta relacionada sobre problemas NP-hard en los árboles .

graph-theory np-hardness

— Benjamín
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Si ve esa pregunta, también debe leer atentamente la respuesta aceptada: "Tome cualquier problema NP-hard relacionado con supersecuencias, supercadenas, subcadenas, etc. Luego vuelva a interpretar una cadena como un gráfico de ruta etiquetado".

— Saeed

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Solo una nota: si las rutas no están etiquetadas, obviamente son altamente comprimibles y la representación compacta es una opción razonable ( bits para representar una ruta de nodos) ... para que también pueda "convertir" problemas difíciles que no use codificación unaria; por ejemplo, suma de subconjuntos: dados rutas sin etiquetar de longitud , ¿existe un subconjunto de ellas que pueda unirse para formar una ruta de longitud ?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

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Una coincidencia de arco iris en un gráfico de color de borde es una coincidencia cuyos bordes tienen colores distintos. El problema es: dado un gráfico color de borde y un entero , ¿ tiene un arco iris que coincida con al menos bordes? Esto se conoce como problema de coincidencia de arcoíris , y su NP se completa incluso para rutas de color de borde adecuadas. Los autores incluso señalan que antes de este resultado, no se sabe que ningún problema de grafo no ponderado sea NP- duro para senderos simples a lo mejor de su conocimiento. $G$ $k$ $G$ $k$

Ver Le, Van Bang y Florian Pfender. "Resultados de complejidad para emparejamientos de arcoíris". Informática teórica (2013) , o la versión arXiv .

— Juho
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Aquí hay algunas observaciones simples.

Un gráfico de ruta incoloro básicamente codifica un número entero, por lo que puede tomar cualquier problema NP-hard que involucre enteros codificados unarios y reinterpretarlo como un problema de gráfico de ruta. Si permite múltiples números enteros codificados en unario (= una unión disjunta de gráficos de ruta), puede usar algunos problemas NP-completos como 3-Partition.
Un gráfico de ruta de color codifica una palabra en un alfabeto fijo, por lo que nuevamente puede tomar un problema NP-difícil en las palabras. Un ejemplo que conozco es el problema de los factores disjuntos introducido en Bodlaender, Thomassé y Yeo .

— Super0
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Eso es básicamente el comentario de @ Saeed ..

— RB

Bien, entonces siéntase libre de rechazar mi respuesta. En cuanto a los problemas NP-hard en los árboles, puedo mencionar el conocido problema del ancho de banda; En realidad, se demostró que era difícil para la jerarquía W en un informe de investigación de Bodlaender, que no pude encontrar en línea.

— Super0

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MinCC Graph Motif es NP-hard cuando el gráfico es una ruta (incluso APX-hard). Dado un gráfico con colores en los vértices y un conjunto de colores, encuentre una subgrafía que coincida con el conjunto de colores y minimice el número de comp conectados. Consulte Problemas de complejidad en la coincidencia de patrones de gráficos de color de vértice, JDA 2011.

— Olf
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Dada una ruta con nodos y aristas ponderadas , encuentre si los nodos pueden etiquetarse usando números en (evitando etiquetas duplicadas) de tal manera que la diferencia absoluta de Las etiquetas de dos nodos adyacentes son iguales al peso del borde: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Esto es equivalente al problema de Reconstrucción de permutación a partir de diferencias que es NPC (uno de mis resultados "no oficiales" :-).

— Marzio De Biasi
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Una respuesta trivial que está cerca de algo de lo que aparece arriba pero, creo, distinta.

$f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ en unario.) Ese conjunto de valores se puede representar como un conjunto de rutas.

— David Richerby
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3

El problema de flujo no divisible (UFP) sigue siendo NP-hard en un camino. De hecho, UFP es NP-hard incluso en un solo borde, ya que es equivalente al problema de la mochila.

— Arindam Pal
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3

El Rainbow Dominating Set (RDS) sigue siendo NP-hard en los caminos. Dado un gráfico de color de vértice, un RDS es un DS donde cada color del gráfico aparece al menos una vez.

Conjuntos dominantes tropicales en gráficos de color de vértice , JDA'18

— Olf
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El conjunto dominante y el conjunto dominante independiente son NP-hard en las rutas si también hay en la entrada un "gráfico de conflicto", donde un borde en este gráfico es un par de vértices que no pueden ser ambos en la solución.

Cornet, Alexis; Laforest, Christian , problemas de dominación sin conflictos , aplicación discreta. Matemáticas. 244, 78-88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
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