¿Puede ser fácil limitar los idiomas difíciles?

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¿Puede todo lo siguiente sostenerse simultáneamente?

$L_s$ está contenido en para todos los enteros positivos . $L_{s+1}$ $s$
$L = \bigcup_s L_s$ es el lenguaje de todas las palabras finitas sobre . $\{0,1\}$
Hay una cierta clase de complejidad y una noción de reducción adecuada de tal que para cada uno , es difícil para . $C$ $C$ $s$ $L_s$ $C$

cc.complexity-theory complexity-classes reductions

— András Salamon
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¿Esto puede funcionar? Dada una enumeración de las fórmulas booleanas (codificadas en binario) define where son los primeros fórmulas unsatisfiable en la enumeración?

φ_{1}, φ_{2}, . . .

$\varphi_1, \varphi_2,...$

L_{s} = S A T \cup {φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}}

$L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$

φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}

$\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$

s

$s$

— Marzio De Biasi

Eso parece funcionar, ¿quizás sea una respuesta?

— András Salamon

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Creo que podemos comenzar con un lenguaje base , luego tomar y . $L$ $L_0 = L$ $L_{s+1} = L_s \cup \{0,1\}^{s+1}$

Es decir, cada es la unión de con todas las cadenas de longitud hasta . Cada es al menos tan difícil como pero no es más difícil (en un sentido asintótico), suponiendo que podamos contar hasta . $L_s$ $L$ $s$ $L_s$ $L$ $s$

También pensé en el "límite" opuesto, por lo que cada está contenido en , y es fácil mientras que cada es difícil. Pero creo que podríamos comenzar con un lenguaje difícil (pero contable) y simplemente eliminar una palabra en cada paso; la intersección debe estar vacía (cada palabra se elimina eventualmente). $L_{s+1}$ $L_s$ $L = \cap_s L_s$ $L_s$ $L_0$

— usul
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Sólo para añadir a las respuestas de Marzio y usul de: el mismo se puede hacer incluso si uno quiere exigir que la diferencia entre y sea un conjunto infinito (que es una manera de tratar de hacer la pregunta menos trivialmente respondió: pero, como vemos, no funciona). Sea . Luego tomando y $L_s$ $L_{s+1}$ $D_n = \{ x \in \{0,1\}^* : 1x \text{ is the binary expansion of an integer divisible by } n\}$ $L_0 = L$ debería hacer el truco. $L_{s+1} = L_s \cup D_s$

(Para cualquier fijo , si era, por ejemplo, CLIQUE, debería ser relativamente fácil tomar una reducción de SAT a CLIQUE y modificarlo por algo como relleno, de modo que todavía sea una reducción de SAT a CLIQUE .) $s$ $L$ $\cup D_s$

— Joshua Grochow
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Dada una enumeración de binarios fórmulas booleanas codificados definen donde son los primeros fórmulas unsatisfiable en la enumeración. $\varphi_1, \varphi_2,...$ $L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$ $\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$ $s$

es claramente difícil para : dada una fórmula booleana agregue suficientes nuevas variables OR-ed hasta que su índice en la enumeración sea mayor que (constante) . $L_s$ $NP$ $\varphi$ $x_i$ $\varphi \lor x_1 \lor ... \lor x_n$ $i_s$

— Marzio De Biasi
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Pensándolo bien, esto parece requerir una codificación para la cual se garantiza que cada palabra finita aparezca como la codificación de alguna fórmula CNF. Sin embargo, se podría modificar la segunda condición para que

sea el lenguaje de todas las fórmulas CNF sintácticamente válidas en la codificación; Esto todavía captura el espíritu de la pregunta.

L

$L$

— András Salamon

Para la dureza, parece suficiente observar que si

es NP-hard, y

es un lenguaje finito, entonces

también es NP-hard.

L

$L$

L^{'}

$L'$

L \cup L^{'}

$L \cup L'$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: tienes razón acerca de la prueba de dureza: -S! Sin embargo, creo que una codificación "perfecta" (una biyección entre N y todas las fórmulas válidas) es posible y computable en tiempo polinómico.

— Marzio De Biasi