Teoría decidible del crecimiento asintótico

¿Cuáles son los límites conocidos de la capacidad de decisión de la comparación de la tasa de crecimiento de las funciones de ? Estoy aquí pensando en la capacidad de decisión de preguntas como "¿Es ?" o "¿Es ?". $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$ $2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

Si restringimos las funciones para que sean polinomios (expresados de la manera habitual), entonces esto no es difícil. Ver también la forma normal de Cantor .

¿Qué tan grande podemos hacer la clase de funciones antes de que la comparación se vuelva indecidible? ¿Podemos extenderlo a las funciones utilizadas en una clase típica de algoritmos de pregrado?

Como Joshua Grochow explica en los comentarios, estoy realmente interesado en el conjunto de expresiones, no en las funciones mismas. Entonces, por ejemplo, estaría interesado en los procedimientos de decisión que podrían comparar " " y " ", incluso si no pueden comparar " " y " ". $1$ $2$ $\ln e$ $n^{(\ln n)^{-1}}$

Posiblemente pregunta relacionada: "¿Es la teoría de los límites asintóticos finitamente axiomatizable?"

decidability asymptotics

— jbapple
fuente

¡Interesante pregunta! Sin embargo, creo que una parte debería cambiarse un poco. No creo que la pregunta deba ser qué tan grande es la clase de funciones, sino cómo se expresan las funciones . Es decir, si le dan dos máquinas de Turing de tiempo polinómico como entrada, decir cuál tiene un tiempo de ejecución mayor es indecidible (a pesar de que ambas tienen tiempos de ejecución polinomiales) ... Si esas funciones se expresaron como, digamos , polinomios explícitos (escriba el polígono completo con coeficientes), entonces es fácil de comparar.

— Joshua Grochow

Buen punto. ¿Tiene alguna sugerencia sobre cómo redactar eso?

— jbapple

Supongo que depende de lo que le interese. Puede ser natural pedir funciones expresadas como fórmulas que involucren varias operaciones, y luego la pregunta es qué conjuntos de operaciones lo hacen decidible / indecidible. por ejemplo, las operaciones incluirían +, tiempos, división, -, raíces enésimas, exp, registro, composición, registro ^ *, etc. (Si

— omite el

$\mathbb{R}$ $x$ $\exp$ $\log|\cdot|$ $f(x)^5 + f(x) = x$ está en la familia). Hardy demostró que cualquiera de estas dos funciones se puede comparar asintóticamente. No estoy seguro de si la prueba es algorítmica, pero vale la pena verificarla.

Boshernitzan extendió esta clase aún más, y sin duda hay otro trabajo sobre el tema.

— Yuval Filmus
fuente

El libro de John R. Shackell "Asintóticas simbólicas" afirma (sección 5.1, página 91), que el primer algoritmo para este problema fue del artículo de 1986 de Dahn y Goring, "Notas sobre términos exponencial-logarítmicos" . La disertación de 1996 de Dominik Gruntz, "Sobre los límites de computación en un sistema de manipulación simbólica" también contiene un algoritmo para este problema y compara varios métodos.

— jbapple

Sin embargo, todos estos se basan en un oráculo para resolver el problema de equivalencia cero, que es indecidible en general.

— jbapple