¿Clase de complejidad de este problema?

Estoy tratando de entender a qué clase de complejidad pertenece el siguiente problema:

Problema de raíz polinómica exponencial (EPRP)

Sea un polinomio con con coeficientes extraídos de un campo finito con un número primo y una raíz primitiva para ese campo. Determine las soluciones de: (o de manera equivalente, los ceros de ) donde significa exponiendo . $p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$

Tenga en cuenta que, cuando (el polinomio es una constante), este problema vuelve al problema de logaritmo discreto, que se cree que es NP-Intermedio, es decir, está en NP pero no en P ni NP-completo. $\deg(p)=0$

Que yo sepa, no existen algoritmos eficientes (polinómicos) para resolver este problema (los algoritmos de Berlekamp y Cantor-Zassenhaus requieren un tiempo exponencial). Encontrar raíces para tal ecuación se puede hacer de dos maneras:

Pruebe todos los elementos posibles en el campo y verifique si satisfacen la ecuación o no. Claramente, esto requiere un tiempo exponencial en el tamaño de bits del módulo de campo; $x$
La exponencial se puede reescribir en forma polinómica, utilizando la interpolación de Lagrange para interpolar los puntos , determinando un polinomio . Este polinomio es idéntico a precisamente porque estamos trabajando en un campo finito. Entonces, la diferencia $r^x$ $\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$ $f(x)$ $r^{x}$ , se puede factorizar para encontrar las raíces de la ecuación dada (usando los algoritmos de Berlekamp o Cantor-Zassenhaus) y las raíces leen los factores. Sin embargo, este enfoque es incluso peor que la búsqueda exhaustiva: dado que, en promedio, un polinomio que pasa por puntos dados tendrá coeficientes no nulos, incluso solo la entrada a la interpolación de Lagrange requerirá un espacio exponencial en el tamaño de bit del campo. $p(x) - f(x)$ $n$ $n$

¿Alguien sabe si se cree que este problema es NP-intermedio también o si pertenece a alguna otra clase de complejidad? Una referencia será muy apreciada. Gracias.

— Massimo Cafaro
fuente

Lo siento, quise decir que se cree que es NP-intermedio. Estoy editando la pregunta para reflejar esto.

— Massimo Cafaro

p (x) = r^{x}

$p(x)=r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) -r^x$

p (x) - f (x)

$p(x) - f(x)$

f (x)

$f(x)$

¿No es el logaritmo discreto un caso especial de esto? Por lo tanto, es al menos tan difícil como la raíz discreta y obviamente en NP. Si cree que el registro discreto es NPI, este también lo es. Es posible que desee preguntar si hay algún algoritmo cuántico eficiente para el problema.

— Kaveh

@Kaveh: Se menciona en la pregunta que el registro discreto es un caso especial. Este problema podría ser más difícil (NP-completo), aunque supongo que son lo mismo. Pero tiene razón en que la búsqueda de algoritmos polinomiales es bastante inútil.

— domotorp

crossposted: mathoverflow.net/questions/154721/…

— domotorp

-5

intentará responder esto. no hay referencias dadas en la pregunta pero se le da un acrónimo "EPRP" como si más de una persona la hubiera estudiado. ¿Alguien sabe si ese es el caso? el interrogador MC parece tener un bkg significativo en esta área, pero ayudaría significativamente enumerar algunas referencias "cercanas" conocidas / revisadas para comprender por qué tienen alguna brecha que no cubre (?) este caso supuestamente especial.

Por lo general, ayuda encontrar "referencias disponibles más cercanas" y determinar cómo el problema es diferente o similar. Aquí hay una referencia completa que parece considerar problemas estrechamente relacionados. piense que el interrogador MC debería tratar de localizar el caso más cercano del problema en esta referencia, o tal vez en otro, y luego señalar cómo este caso es específicamente diferente de los casos de problemas generales dados en la referencia. la referencia tiene una larga lista de referencias relacionadas para verificar también si hay problemas cercanos o relacionados. él considera la complejidad del problema y proporciona algoritmos eficientes de tiempo P para varios casos.

SOBRE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALES UNIVARIADAS EN CAMPOS FINITOS Y ALGUNOS PROBLEMAS RELACIONADOS Tsz Wo Sze, Doctor en Filosofía, 2007

... presentamos un algoritmo determinista de tiempo polinómico para resolver ecuaciones polinómicas sobre algunas familias de campos finitos. Tenga en cuenta que las ecuaciones polinómicas son construcciones poderosas. Muchos problemas pueden formularse como ecuaciones polinómicas.

— vzn
fuente

Esta "respuesta" debe ser un comentario con un enlace a la tesis.

— Sasho Nikolov

@vzn, los algoritmos principales (interpolación de berlekamp, Cantor-Zassenhaus y Lagrange) han sido citados en mi pregunta y puede encontrar fácilmente toneladas de materiales relacionados buscando en la web. Incluso podría agregar el algoritmo Shoup aquí, pero no puedo agregar ninguna referencia única en la que se haya investigado este problema. El acrónimo "EPRP" es solo una forma de referirse al problema, no lo encontrará en la literatura. De todos modos, he verificado la referencia que amablemente proporcionó, pero los problemas estudiados son demasiado fáciles y se basan en supuestos simplificadores que, desafortunadamente, no se aplican en mi caso.

— Massimo Cafaro

Además, los problemas estudiados en el Ph.D. Las tesis no son "generales": son problemas específicos, con supuestos simplificadores que los hacen manejables. Un trabajo muy interesante y sólido, pero, si el Dr. Tsz Wo Sze hubiera resuelto EPRP con un algoritmo de tiempo polinómico, probablemente ya habría recibido la medalla Fields ;-)

— Massimo Cafaro

x

$x$

ϕ (ϕ (q))

$\phi(\phi(q))$

@VZN: Hola amigo, ¿por qué continuamente troll este sitio? Se está volviendo una broma. Obviamente eres un aspirante a la informática (ni siquiera usas tu identidad real como los otros científicos reales aquí como Shor y Growchow, etc.)

— William Hird