Implicaciones matemáticas de las conjeturas de la teoría de la complejidad fuera de TCS

¿Conoces consecuencias interesantes de conjeturas (estándar) en la teoría de la complejidad en otros campos de las matemáticas (es decir, fuera de la informática teórica)?

Preferiría respuestas donde:

• la conjetura de la teoría de la complejidad es lo más general y estándar posible; También estoy de acuerdo con las consecuencias de la dureza de problemas específicos, pero sería bueno si se cree que los problemas son difíciles (o al menos se han estudiado en más de un par de artículos)

• la implicación es una afirmación que no se sabe que es verdadera incondicionalmente, u otras pruebas conocidas son considerablemente más difíciles

• cuanto más sorprendente sea la conexión, mejor; en particular, la implicación no debería ser una declaración explícita sobre algoritmos

Las conexiones tipo "si los cerdos pudieran volar, los caballos cantarían" también están bien, siempre y cuando los cerdos voladores provengan de la teoría de la complejidad y los caballos cantantes de algún campo de las matemáticas fuera de la informática.

Esta pregunta es, en cierto sentido, "la inversa" de una pregunta que teníamos sobre los sorprendentes usos de las matemáticas en la informática. Dick Lipton tuvo una publicación en el blog exactamente en este sentido: escribe sobre las consecuencias de la conjetura de que la factorización tiene una gran complejidad de circuito. Las consecuencias son que ciertas ecuaciones de diofantina no tienen soluciones, un tipo de afirmación que puede ser muy difícil de probar incondicionalmente. La publicación se basa en el trabajo con Dan Boneh, pero no puedo encontrar un artículo.

EDITAR: Como Josh Grochow señala en los comentarios, su pregunta sobre las aplicaciones de TCS a las matemáticas clásicas está estrechamente relacionada. Mi pregunta es, por un lado, más permisiva, porque no insisto en la restricción "matemática clásica". Creo que la diferencia más importante es que insisto en una implicación probada de una conjetura de complejidad a una declaración en un campo de las matemáticas fuera de TCS. La mayoría de las respuestas a la pregunta de Josh no son de este tipo, sino que proporcionan técnicas y conceptos útiles en matemáticas clásicas que fueron desarrolladas o inspiradas por TCS. Sin embargo, al menos una respuesta a la pregunta de Josh es una respuesta perfecta a mi pregunta: el artículo de Michael Freedmanque está motivado por una pregunta idéntica a la mía, y demuestra un teorema en la teoría de nudos, condicionada a . Argumenta que el teorema parece estar fuera del alcance de las técnicas actuales en la teoría de nudos. Según el teorema de Toda, si P # P = N P, entonces la jerarquía polinómica se colapsa, por lo que la suposición es bastante plausible. Estoy interesado en otros resultados similares.$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Aquí hay otro ejemplo de la teoría de grafos. El teorema del gráfico menor nos dice que, para cada clase de gráficos no dirigidos que se cierra debajo de menores, hay un conjunto de obstrucción finita O b s ( G ) tal que un gráfico está en G si y solo si no contiene un gráfico en O b s ( G ) como menor. Sin embargo, el teorema de la gráfica de menor importancia es inherentemente no constructiva y no nos dice nada acerca de lo grande que estos conjuntos son de obstrucción, es decir, el número de gráficos que contiene para una elección particular de G .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

En Too Many Minor Order Obstructions , Michael J. Dinneen demostró que bajo una conjetura teórica de complejidad plausible, se puede demostrar que los tamaños de varios de estos conjuntos de obstrucción son grandes. Por ejemplo, considere la clase parametrizada de gráficos de género como máximo k . A medida que k aumenta, podemos esperar que los conjuntos de obstrucción O b s ( G k ) se vuelvan cada vez más complicados, pero ¿cuánto? Dinneen demostró que si la jerarquía polinómica no colapsa a su tercer nivel, entonces no hay un polinomio p tal que el número de obstrucciones en O b s$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$está delimitado porp(k). Dado que el número de obstrucciones menores para tener el género cero (es decir, ser plano) es solo dos ( O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 }), este crecimiento superpolinómico no es inmediatamente obvio (aunque lo creo puede ser probado incondicionalmente). Lo bueno del resultado de Dinneen es que se aplica a los tamaños de los conjuntos de obstrucción correspondientes acualquierconjunto parametrizado de ideales menores G k para los cuales decidir elkmás pequeño$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$para el cual es NP-duro; En todos estos ideales menores parametrizados, los tamaños de los conjuntos de obstrucción deben crecer de forma superpolinómica. $G \in \mathcal{G}_k$

Aquí hay un ejemplo: la complejidad computacional y la asimetría informativa en los productos financieros de Arora, Barak y Ge muestran que puede ser computablemente insoluble (es decir, NP-hard) valorar los derivados correctamente: usan el subgráfico más denso como un problema difícil incrustado.

En la misma línea y mucho antes se encuentra el famoso artículo de Bartholdi, Tovey y Trick sobre la dureza de manipular una elección.

Como sugirió Sasho, mi respuesta a la pregunta "¿ Aplicaciones de TCS a las matemáticas clásicas? " Sigue:

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

Está muy en el espíritu del artículo de Mike Freedman mencionado anteriormente.

Parece que muchas preguntas de separación de clases de complejidad TCS tienen implicaciones importantes en las matemáticas. La pregunta P =? NP en particular parece tener conexiones muy profundas en muchos campos y esto incluye las matemáticas. Algunos casos notables en esta área:

• Hilberts problema Nullstellensatz formulado en el siglo 20 se ha demostrado que tiene una tratabilidad estrechamente relacionada con el P vs NP complejidad por ejemplo, en DE LA intratabilidad DE HILBERT'S Nullstellensatz Y UNA ALGEBRAICA versión de “NP ̸ = P?” Por Shub / Smale. Esta es un área continua de estudio, por ejemplo, en Álgebra computacional, Combinatoria y Complejidad: Nullstellensatz de Hilbert y Problemas NP completos de Margulies.

• Teorema de los márgenes (wikipedia):

  El teorema de Fagin es el resultado de una teoría de la complejidad descriptiva que establece que el conjunto de todas las propiedades expresables en la lógica existencial de segundo orden es precisamente la clase de complejidad NP. Es notable ya que es una caracterización de la clase NP que no invoca un modelo de cómputo como una máquina de Turing.

  La implicación mayor / sorprendente de P = NP aquí significaría que todas las aserciones lógicas de segundo orden podrían calcularse eficientemente.

• otro caso es que hay varios problemas completos de NP establecidos principalmente en términos matemáticos (por ejemplo, sin referencia a conceptos de TCS como TM, no determinismo, etc.). esta lista podría ser muy grande si la teoría de grafos se considera (bastante razonablemente) como matemática. sin embargo, incluso las interpretaciones limitadas de "matemática" conducen a casos, por ejemplo en teoría de números.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • ¿Hay un problema natural en los productos naturales que es NP-completo? tcs.se
  • teoría de números y NP overflow matemático completo