Co-NP-integridad de la gira mínima TSP?

Este problema surgió de mi reciente publicación de blog , supongamos que se le da un recorrido TSP, ¿es completo para determinar si es mínimo?

Más precisamente es el siguiente problema NP-complete:

Instancia: dado un gráfico completo G con aristas ponderadas con enteros positivos y un ciclo simple C que visita todos los nodos de G.

Pregunta: ¿Existe un ciclo simple D que visite todos los nodos de G de modo que el peso total de todos los bordes de D en G sea estrictamente menor que el peso total de todos los bordes de C en G?

Un boceto de una posible reducción para demostrar que está completa NP.

Informalmente comienza a partir de una fórmula 3SAT modificada que se usa para mostrar que 3SAT es ASP completo (otro problema de solución) y "sigue" la cadena estándar de reducciones 3SAT => HAMCYCLE DIRECTED => HAMCYCLE UNDIRECTED => TSP

• Comience con una fórmula 3SAT con n variables de x 1 , . . . x n y m caluses C 1 , . . . , C m ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Transfórmalo a una nueva fórmula agregando una nueva variable t ...;$\varphi'$$t$
• ... y expandiendo cada cláusula a ( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t ) ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• A partir de construya el gráfico de estructura de diamantes G = { V , E } utilizado para demostrar que el CICLO HAMILTONIANO DIRIGIDO es NP-Completo; supongamos que cada cláusula C j corresponde al nodo N j en G ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Modifique en el gráfico G ′ = { V ′ , E ′ } reemplazando cada nodo u con tres nodos vinculados u 1 , u 2 , u 3 y modifique los bordes de acuerdo con la reducción estándar utilizada para demostrar la integridad de NP del CICLO HAMILTONIANO NO DIRIGIDO del CICLO HAMILTONIANO DIRECTO, es decir, u 1 es el nodo utilizado para los bordes entrantes, u 3 es el nodo utilizado para los bordes salientes;$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Convierta la instancia de CICLO HAMILTONIANO NO DIRIGIDO en en una instancia de TSP T en la que todos los bordes de G ' tienen peso w = 1 , excepto el borde (único) en el diamante que va a la asignación "positiva" de t que tiene peso w = 2 (borde rojo en la figura a continuación); finalmente los bordes agregados para completar G ' tienen peso w = 3 .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Claramente, la instancia TSP tiene un ciclo simple que visita todos los nodos que corresponde a la asignación satisfactoria de φ ′ en la que t = t r u e (y este recorrido se puede construir fácilmente en tiempo polinómico), pero tiene un peso total | V ′ | + 1 (porque usa la arista que corresponde a la asignación t = t r u e que tiene peso 2). T tiene otro ciclo simple que visita todos los nodos con un peso total más bajo | V ′ $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$si y solo si el borde del peso que corresponde a la asignación t = t r u e no se usa; o equivalentemente si y solo si hay otra asignación satisfactoria de φ ′ en la que t = f a l s e ; pero esto puede ser cierto si y solo si la fórmula original φ es satisfactoria.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Lo pensaré más y escribiré una prueba formal (si no resulta estar equivocado :-). Avíseme si necesita más detalles sobre uno o más de los pasajes anteriores.

Como señaló domotorp, una consecuencia interesante es que el siguiente problema es NP-completo: dado un gráfico y una ruta hamiltoniana, ¿ tiene G un ciclo hamiltoniano?$G$$G$

Papadimitriou y Steiglitz (1977) han demostrado la completitud NP de este problema.