Razones para creer

Parece que muchas personas creen que , en parte porque creen que la factorización no es solucionable por tiempo múltiple. (Shiva Kintali ha enumerado algunos otros problemas candidatos aquí ). $P \ne NP \cap coNP$

Por otro lado, Grötschel, Lovász y Schrijver han escrito que "muchas personas creen que ". Esta cita se puede encontrar en Algoritmos geométricos y optimización combinatoria, y Schrijver hace afirmaciones similares en Optimización combinatoria: poliedros y eficiencia . Esta imagen deja en claro dónde se encuentra Jack Edmonds sobre el tema. $P=NP\cap coNP$

¿Qué evidencia respalda la creencia en ? ¿O para apoyar ? $P\ne NP\cap coNP$ $P=NP\cap coNP$

cc.complexity-theory np conditional-results

— Austin Buchanan
fuente

Definir "razón". Realmente no hay evidencia de una manera u otra. Esto no es algo que pueda probarse experimentalmente. Hasta que tengamos una prueba de una forma u otra, las únicas "razones para creer" son los sentimientos viscerales, ya sea que algún problema en

no es polinomial, o algún instinto instintivo de que todos lo son.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— jmite el

Esperaba respuestas como las que Scott Aaronson dio para P versus NP .

— Austin Buchanan

Muchas de las mismas ideas de Aaronson son aplicables. No estoy de acuerdo con Jmite. Hay muchas pruebas circunstanciales , incluidas pruebas experimentales, algunas enumeradas por Aaronson.

— vzn

Teorema 3.1 de permutaciones unidireccionales y lenguajes de autocontrol C. Homan y M. Thakur, Journal of Computer and System Sciences, 67 (3): 608-622, noviembre de 2003. [ como .pdf ] afirma que P ≠ UP∩ coUP si y solo si ("el peor de los casos") existen permutaciones unidireccionales. El teorema 3.2 recuerda 10 hipótesis adicionales que han demostrado ser equivalentes a P ≠ UP∩coUP.

— Thomas Klimpel

Creo que factorizar ∈ P es muchos, muchos órdenes de magnitud más probable que P = NP ∩ coNP, por lo que esa no es la razón por la que creo que P = NP ∩ coNP.

— Peter Shor

Respuestas:

Teorema 3.1 de permutaciones unidireccionales y lenguajes de autocontrol C. Homan y M. Thakur, Journal of Computer and System Sciences, 67 (3): 608-622, noviembre de 2003. [ como .pdf ] establece que si y solo si ("el peor de los casos") existen permutaciones unidireccionales. Teorema 3.2 recuerda 10 hipótesis adicionales que se han demostrado para ser equivalente a . $P≠UP∩coUP$ $P≠UP∩coUP$

Además, tenemos fuertes razones para conjeturar que . Por lo tanto, lo anterior teorema y el resultado conjetura en una razón de peso para creer que . $UP \ne NP$ $P \ne NP ∩ coNP$

Descargo de responsabilidad: moví la edición de Mohammad Al-Turkistany de mi respuesta a esta respuesta wiki comunitaria. Él cree que responde perfectamente a la pregunta ya que la existencia de permutaciones unidireccionales se cree ampliamente. Yo mismo aún no he entendido suficientemente la diferencia entre las funciones unidireccionales de "peor caso" y "caso promedio" para afirmar que realmente responde la pregunta.

— Thomas Klimpel
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Creo que existen generadores de números aleatorios de alta calidad muy eficientes en cuanto al espacio. A pesar de esta creencia, normalmente uso Mersenne Twister en mi código, que es de alta calidad, pero no es muy eficiente en cuanto al espacio. Falta un vínculo entre la eficiencia del espacio y NP∩coNP, es solo una sensación de que hay un vínculo.

Permítanme tratar de dar una razón por la que creo que la "aleatoriedad verdadera" puede simularse / aproximarse de manera muy eficiente. Sabemos que es posible producir números pseudoaleatorios que sean suficientemente aleatorios para todos los fines prácticos (incluida la criptografía). También sabemos que usar (una pequeña cantidad de números fijos) números primos grandes en la construcción de generadores de números pseudoaleatorios rara vez es una mala idea. Sabemos por conjeturas como la de Riemann que casi todos los números primos contienen un alto grado de aleatoriedad, pero también sabemos que aún no podemos probar esto rigurosamente.

¿Existe una explicación intuitiva de por qué los números primos se comportan como números aleatorios? Los números primos son el complemento de los números compuestos. El complemento de un conjunto con buen comportamiento suele ser más complicado que el conjunto original. Los números compuestos están compuestos de números primos, lo que a su vez ya le da a este conjunto una cierta complejidad.

Antecedentes Una vez intenté entender por qué P ≠ NP es difícil. Me preguntaba si aproximar los grupos de simetría interna de una instancia problemática por grupos nilpotentes podría no conducir a un "algoritmo de abstracción" capaz de ver la estructura interna de la instancia problemática. Pero luego me di cuenta de que incluso calcular la estructura de un grupo nilpotente contiene factorización como un caso especial. La cuestión de los subgrupos simples de un grupo cíclico de orden n es equivalente a determinar los factores primos de n. Y la clasificación de grupos finitos nilpotentescontiene subproblemas aún peores relacionados con el isomorfismo gráfico. Eso fue suficiente para convencerme de que este enfoque no ayudará. Pero mi siguiente paso fue tratar de entender por qué es difícil factorizar, y la respuesta anterior es lo que se me ocurrió. Fue suficiente para convencerme, así que tal vez también sea convincente para otras personas. (En aquel entonces, no conocía los grupoides o los semigrupos inversos, que probablemente sean más adecuados que los grupos nilpotentes para manejar simetrías internas. Aún así, el argumento de por qué este enfoque no será eficiente sigue siendo el mismo).

— Thomas Klimpel
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No estoy seguro de cómo esta respuesta se relaciona con la pregunta. ¿Podrías dar más detalles?

— Matthias

@Matthias La respuesta es la razón por la que creo que P ≠ NP∩coNP. Entonces, el problema probablemente no sea la relación con la pregunta, sino cómo explicar el razonamiento. Hay una forma de platonismo matemático involucrado, que supone que las estructuras matemáticas pueden modelar o aproximar casi todo lo que puede existir en este mundo. La verdadera aleatoriedad es parte de lo que puede existir, y la respuesta trata de explicar por qué existe la sensación de que esta aleatoriedad ya está presente en contextos suficientemente limitados para causar P ≠ NP∩coNP. (Lo siento, tal vez mejoraré / eliminaré este comentario más tarde.)

— Thomas Klimpel

\neq

$\neq$

\cap

$\cap$

@Matthias Escribí "... falta el vínculo entre la eficiencia del espacio y NP∩coNP, es solo un presentimiento ..." en la respuesta. Podría intentar dar más detalles, pero me temo que esto no sería bien recibido. De hecho, supongo que prefieres referencias independientes apuntando en esa dirección en lugar de mis propias explicaciones. En el Zoo de Complejidad , encontré el resultado citado Las permutaciones unidireccionales en el "peor de los casos" existen si y solo si P no es igual a UP ∩ coUP [ HT03 ]. El documento está en línea, pero aún no lo he leído ...

— Thomas Klimpel