Funciones booleanas donde la sensibilidad es igual a la sensibilidad del bloque

Parte del trabajo sobre la sensibilidad frente a la sensibilidad del bloque se ha dirigido a examinar funciones con un espacio lo más amplio posible entre y para resolver la conjetura de que solo es polinomialmente más grande que . ¿Qué pasa con la dirección opuesta? ¿Qué se sabe sobre las funciones donde ?$s(f)$$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

Trivialmente, las funciones constantes tienen . También trivialmente, cualquier función con también tiene . No es trivial pero no es demasiado difícil demostrar que cualquier función monótona también satisface esta igualdad. ¿Hay otras clases de funciones que tengan ? Una caracterización completa sería ideal. ¿Qué sucede si fortalecemos aún más los requisitos para y ?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

La motivación para esta pregunta es simplemente tener alguna intuición sobre cómo la sensibilidad se relaciona con la sensibilidad de bloqueo.

Definiciones

Sea una función booleana en palabras de bits. Para y , deja que denota el palabra bits obtenida a partir de por voltear los bits especificados por . En el caso de que , simplemente denotaremos esto como x ^ i .$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$$n$$x \in \{0,1\}^n$$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$$x^i$

Definimos la sensibilidad de $f$ en $x$ como $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . En otras palabras, es el número de bits en $x$ que podemos voltear para voltear la salida de $f$ . Definimos la sensibilidad de $f$ como $s(f) = \text{max}_x s(f,x)$ .

Definimos la sensibilidad de bloque de $f$ en $x$ (denotado $bs(f,x)$ ) como el máximo $k$ modo que haya subconjuntos disjuntos $B_1, B_2, \ldots, B_k$ de $\{1,2,\ldots, n\}$ tales que $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ . Definimos la sensibilidad de bloque de $f$ como $bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ .

Finalmente, definimos la sensibilidad 0 de $f$ como $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$ . Nos parecida definimos 1-sensibilidad , sensibilidad 0-bloque , y 1-bloque de sensibilidad , denotado $s^1(f)$ , $bs^0(f)$ , y $bs^1(f)$ , respectivamente.

Recientemente, probé que s (f) = bs (f) para funciones independientes y funciones de lectura única sobre los operadores booleanos AND, OR y EXOR, y mi trabajo, incluidos los resultados, fue aceptado en TCS 2014. ( http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

Puede estar atacando este problema. Si es así, lo siento, pero comencé a atacar el problema de forma independiente antes de que se publicara la pregunta. Una versión preliminar de mi trabajo se presentó en una reunión nacional japonesa en diciembre / 2013 y la fecha límite de presentación fue octubre / 2013. ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )