NP completa problemas de grafos sobre propiedades estructurales

(Esta pregunta es un poco una "encuesta").

Actualmente estoy trabajando en un problema en el que trato de dividir los bordes de un torneo en dos conjuntos, los cuales son necesarios para cumplir con algunas propiedades estructurales. El problema "se siente" bastante difícil, y espero que sea -complete. Por alguna razón, me resulta difícil incluso encontrar problemas similares en la literatura. $\mathcal{NP}$

Un ejemplo de un problema que consideraría comparable al que estoy tratando:

Dado un torneo ponderado $G = (V,E,w)$ , ¿hay un arco de retroalimentación establecido en cuyos bordes cumplan con la desigualdad del triángulo? $G$

Tenga en cuenta la diferencia con el problema del conjunto de arco de retroalimentación tradicional: no me importa el tamaño del conjunto, pero me importa si el conjunto en sí tiene una determinada propiedad estructural.

¿Te has encontrado con algún problema de decisión similar a este? ¿Recuerdas si eran -complete o en ? Cualquier y toda ayuda apreciada. $\mathcal{NP}$ $\mathcal{P}$

cc.complexity-theory reference-request np-hardness

— G. Bach
fuente

Quizás pueda explicar las propiedades estructurales de su problema, aquí hay muchos expertos que están familiarizados con las pruebas NPC y, en lugar de una referencia, podría obtener una prueba NPC :-)

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Me gustaría mucho evitar que me den una prueba del problema con el que estoy lidiando; es la primera vez que realizo una investigación real y me gustaría ver dónde puedo llegar solo :)

— G. Bach

Para mí, la pregunta parece demasiado vaga, y es difícil adivinar lo que realmente se pregunta. Probablemente, la pregunta debería hacerse más específica: qué quiere decir con "sentirse similar a esto" y qué quiere decir con "un arco de retroalimentación establecido en G cuyos bordes cumplen la desigualdad del triángulo"; ¿Desea una referencia sobre el problema del conjunto de arco de retroalimentación u otro problema?

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto Me doy cuenta de que hay una cierta ambigüedad en la pregunta, y esperaba que el ejemplo aclarara un poco. Por "arco de retroalimentación establecido en G cuyos bordes cumplen la desigualdad del triángulo" quiero decir: si

es un conjunto de arco de retroalimentación y

, entonces

F

$F$

(a, b)

$(a,b)$

(b, c)

$(b,c)$

(a, c)

$(a,c)$

\in F

$\in F$

w (a, b) + w (b, c) \geq w (a, c)

$w(a,b) + w(b,c) \ge w(a,c)$ tiene que mantenerse para que

cumpla con esa propiedad. Anteriormente solo encontré problemas de este tipo

, pero quiero que

tenga una propiedad no relacionada con su cardinalidad.

F

$F$

| F | \leq k

$|F| \le k$

F

$F$

— G. Bach

¿Alguien puede dar un enlace / referencia al "problema tradicional de conjunto de arco de retroalimentación" ...?

— vzn

Respuestas:

Creo que hay muchos problemas similares. Aquí hay dos en versión de vértice y uno en versión de borde:

1) ¿Tiene un gráfico dado un conjunto de vértices de retroalimentación independiente ? (No nos importa el tamaño del conjunto). Este problema es NP-completo; la prueba se puede derivar de la prueba del Teorema 2.1 en Garey, Johnson & Stockmeyer .

2) ¿Un gráfico dado tiene una cubierta de vértice que induce un árbol ? (No nos importa el tamaño del conjunto). Este documento proporciona una prueba de integridad de NP para este problema (Teorema 2); incluso para gráficos bipartitos.

3) ¿Tiene un gráfico dado un borde dominante que establece los bordes de los cuales forman un subgrafo inducido $1$ ? (también conocido como coincidencia inducida dominante o dominación eficiente de bordes; la versión de vértice se da en la segunda respuesta de Mohammad. Nuevamente, no nos importa el tamaño del conjunto). Este problema es NP-completo (conocido, probado por primera vez aquí ), incluso para gráficos bipartitos planos.

Los primeros dos problemas son ejemplos particulares de la clase de problema llamada stable- : Sea una propiedad gráfica. ¿Un gráfico dado tiene una cubierta de vértice que satisface ? Se pueden encontrar más casos completos de NP, así como casos polinómicamente solucionables en este y en este documento (y las referencias proporcionadas allí). $\pi$ $\pi$ $\pi$

— vb le
fuente

¡Esos son exactamente el tipo de problemas que estoy buscando!

— G. Bach

@ G.Bach Dado que esto responde exactamente a su pregunta, le sugiero que acepte la respuesta y otorgue la recompensa.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany Estoy de acuerdo; por alguna razón, solo podré otorgar la recompensa en una hora.

— G. Bach

Gracias por tu bonita publicación. Estuve pensando por un tiempo las mismas líneas.

— Mohammad Al-Turkistany

$C$ $C$ $NP$ $NP$

DW Bange, AE Barkauskas y PJ Slater. Conjuntos dominantes eficientes en gráficos . Aplicaciones de las matemáticas discretas, Proc. 3 ° SIAM Conf., Clemson / Carolina del Sur 1986, 189-199 (1988)., 1988.

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

Otras variantes del juego dominante son el juego dominante conectado y el juego dominante independiente .

— Radu Curticapean

@RaduCurticapean Pero con estas variantes le importa el tamaño de la solución.

— vb le

Sí, pasé por alto esto.

— Radu Curticapean

$NP$ $NP$

Un agujero es un ciclo sin cuerda de longitud mayor que tres. Un ciclo en el gráfico dirigido no tiene acordes si su longitud es mayor que 3 y no hay dos de sus vértices unidos por un borde del gráfico dirigido que no pertenezca al ciclo.

$NP$ $P$

$NP$

La importancia de detectar la estructura de agujeros impares en los gráficos se destaca por el reciente avance del Teorema del gráfico perfecto fuerte . Muestra que un gráfico es perfecto si y solo si ni él ni su gráfico complementario tienen un agujero extraño.

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

Un ciclo es un ciclo inducido si y solo si es un ciclo sin cuerda (también llamado agujero).

— Mohammad Al-Turkistany

Ambas respuestas suenan como el tipo de problema que estoy buscando, ¡gracias!

— G. Bach