¿Está

Pensé en compartir esta pregunta, ya que podría ser interesante para otros usuarios aquí.

Suponga que una función que está en una clase uniforme (como ) también está en una pequeña clase no uniforme (como , es decir, no uniforme ), ¿esto implica que la función está contenida en un clase uniforme más pequeña (como )? Si la respuesta a esta pregunta es positiva, ¿cuál es la clase de complejidad uniforme más pequeña que contiene ? Si es negativo, ¿podemos encontrar un contraejemplo natural interesante? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

¿Está contenido en ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

Nota: Un amigo ya respondió parcialmente mi pregunta fuera de línea, agregaré su respuesta si no la agrega él mismo.

La pregunta es mi segundo intento de formalizar la siguiente pregunta informal:

¿Puede la no uniformidad ayudarnos a calcular problemas uniformes naturales?

Relacionado:

¿Hay un candidato para un problema natural en ? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Kaveh
fuente

@Kaveh: Tal vez una pregunta interesante sería pedir un problema natural en P / poly y NP, pero no en P. (¿O tal vez esto es demasiado fácil?)

— Robin Kothari

@Robin: eso parece interesante, pero no estoy seguro de que sería más fácil encontrar un problema natural en

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Kaveh

@todos: necesito pensar un poco más sobre esta pregunta y las respuestas. Parece una pregunta muy natural. Pero me siento incómodo con las respuestas: primero, podemos debilitar la suposición reemplazando

con

donde

es un crecimiento muy rápido función; segundo, el contraejemplo no está solo en

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ pero tiene circuitos de tamaño 1 ya que la función es constante en todas las entradas de tamaño

para todas las

! Estas dos razones podrían estar diciendo que esta no es la pregunta correcta.

n

$n$

n

$n$

— Kaveh

@Kaveh: Quizás quieras mirar la clase YP, definida por Scott Aaronson. Es como P / poly, pero el "consejo" no es confiable. En otras palabras, es como NP intersect coNP, pero el testigo solo puede depender de la longitud de entrada. YP está en P / poli, y es una clase uniforme. Quizás un problema en YP pero no en P es un ejemplo del problema que está buscando. Sería natural, uniforme, no en P, en P / poli, y posiblemente no trivial ya que el circuito debe verificar los consejos.

— Robin Kothari

@Kaveh: La clase YP ("Yoda Polynomial-Time") se define más formalmente en el artículo de Scott "La capacidad de aprendizaje de los estados cuánticos" [quant-ph / 0608142]

— Alessandro Cosentino

Respuestas:

Aquí hay una simplificación de la respuesta de Ryan. Supongamos que . Defina el lenguaje . El supuesto se traduce en . Además, trivialmente . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Yuval Filmus
fuente

Buena respuesta Yuval!

— Dai Le

Esencialmente, la misma transformación se usa en el Libro 1974 para mostrar que E ≠ NE si y solo si NP ∖ P contiene un lenguaje de conteo.

— Tsuyoshi Ito

Solo para estar seguro: ¿entiendo correctamente que

Cuál es la longitud de

escrita en unario?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Vincent

@Vincent Aquí

es una cadena en lugar de un entero, y

es su longitud

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus

Sí, eso es lo que me confunde. Si

es la longitud de una cadena, entonces

es un número entero, entonces, ¿cómo puede ser un elemento de

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Vincent

Responda a su primera pregunta: Parece poco probable.

$NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

$C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

$C$ $n$ $NEXP$

Ahora considera el idioma

$L =$ $1^n |$ $n$

$L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

$L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

$L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

Su segunda pregunta está abierta (y abierta).

— Ryan Williams
fuente

¿Por qué necesitas tomar un problema completo?

— Yuval Filmus

Pensé que hacía que el argumento fuera más fácil de seguir.

— Ryan Williams el

Gracias Ryan por tu buena respuesta y la explicación. Supongo que no te importaría si acepto la respuesta de Yuval aunque fuiste la primera persona en publicar.

— Kaveh

A la pregunta de Kaveh "¿Puede la no uniformidad ayudarnos a calcular problemas uniformes naturales?"

$n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

Referencias

Friedhelm Meyer auf der Heide, " Un algoritmo de búsqueda lineal polinómica para el problema de la mochila n-dimensional ", 1984

— Stasys
fuente

n

$n$

2

$2$

2^{n}

$2^n$

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

@Kaveh: Pero NP en sí mismo es un gran OR de P. La "versión del tiempo" de P vs. NP es: ¿podemos reemplazar este gran OR por un árbol de decisión algebraico determinista de profundidad polinómica (con P en las hojas)? Recuerde que la profundidad trivial para Subset-Sum es 2 ^ n (no n). Dopkin y Lipton (1978) mostraron que la profundidad n ^ 2/2 es necesaria, y se creía ampliamente que esto puede mejorarse a n ^ k para cualquier k. Mayer auf der Heide refutó esta creencia: k = 5 es suficiente. Por lo tanto, la falta de uniformidad PUEDE ayudar, si estamos interesados en la profundidad (tiempo).

— Stasys