¿Cuál es un problema realmente bueno para ensuciarse las manos en geometría computacional?

La geometría computacional es un área que me parece bastante interesante, y me gustaría dedicar aproximadamente un mes o dos a un proyecto que me presente a esto y me ayude a aprender conceptos clave.

¿Cuál es una buena manera de abordar esto y cuáles son los conceptos clave que debería estar seguro de que también me presentan?

Para mezclar las sugerencias de Suresh V. y Dave C., puede ser divertido tratar de obtener evidencia experimental sobre un problema no resuelto mediante la implementación de los algoritmos necesarios. Por ejemplo, ahora se sabe que la triangulación de Delaunay no es un ( / 2) -spanner [Prosenjit Bose, Luc Devroye, Maarten Löffler, Jack Snoeyink, Vishal Verma: "La relación de expansión de la triangulación de Delaunay es mayor que / 2 ". CCCG 2009 : 165-167.] Podría implementar un algoritmo de triangulación de Delaunay y caminos más cortos, y tratar de determinar experimentalmente cuál podría ser la verdadera relación de expansión. O, más desafiante, intente calcular la complejidad combinatoria del diagrama de líneas de Voronoi enπ R$\pi$$\pi$$\mathbb{R}^3$, otro problema no resuelto (y en la lista que Suresh menciona como Problema 3 ).

Si bien esto podría ser demasiado desalentador antes de hacerlo, como Dave sugiere, hay una buena colección de problemas abiertos en geometría computacional mantenida por Joe O'Rourke, Erik Demaine y Joe Mitchell. Estos proporcionan una buena instantánea de las preguntas centrales en el ámbito teórico.

Obtenga los problemas de investigación del libro en geometría discreta . Léalo, vea qué problemas le parecen interesantes, lea la literatura, resuelva y publique.

Advertencia: Los problemas en este libro son difíciles. Sin embargo, es una excelente introducción a los problemas abiertos en el campo y una buena manera de aprender sobre el campo.

Victor Klee en 1973 planteó un problema sobre la protección de polígonos simples (sensores para proteger una galería de arte colocada en sus vértices) que se ha convertido en cientos de documentos relacionados con lo que se conoce como el problema de la galería de arte. Muchas de las ideas básicas en geometría computacional entran en juego al estudiar el problema de la galería de arte (cosas como la triangulación, descomponer polígonos en piezas con propiedades especiales, gráficos de visibilidad, etc.) El libro maravillosamente bien escrito de Joe O'Rourke todavía sirve como un gran introducción a las ideas y métodos aquí, y el libro está disponible en parte o en su totalidad de forma gratuita en este sitio web:

http://cs.smith.edu/~orourke/books/ArtGalleryTheorems/art.html

Creo que este es un gran punto de entrada a la geometría computacional.

Jeff Erickson " JeffE " también tiene un buen conjunto de sugerencias sobre el tema: http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/compgeom/ . Dado que visita TCS SE con frecuencia, puede ayudarlo mucho mejor.

Compre un libro como este , implemente los algoritmos y descubra algún ejemplo o proyecto pequeño para trabajar en la sección de ejercicios. Aquí y aquí hay listas de muchas ideas de proyectos. Google debería revelar muchos otros. Elige uno que suene divertido y anímate.