Problemas NP-hard dirigidos en DAG

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El ancho del árbol mide qué tan cerca está un gráfico de un árbol. Varios problemas NP-hard son manejables en gráficos con ancho de árbol acotado. Si un problema sigue siendo NP-hard en los árboles, entonces el ancho del árbol no puede salvarnos. Esta fue la motivación detrás de una de mis preguntas anteriores sobre los problemas NP-difíciles en los árboles.

Existen varias versiones dirigidas del ancho del árbol que miden qué tan cerca está un gráfico dirigido de un gráfico acíclico dirigido (DAG). ¿Cuáles son algunos problemas dirigidos que siguen siendo NP-hard en los DAG? Un problema dirigido hace uso esencial de las direcciones de los bordes. Por ejemplo, el camino hamiltoniano es un problema dirigido, mientras que la cobertura de vértices no lo es. Una de las respuestas a mi pregunta anterior dio una receta general para generar problemas que son difíciles para los árboles. ¿Existe tal receta para los DAG?

np-hardness directed-acyclic-graph

— Shiva Kintali
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Esto solo apunta a responder parcialmente la primera pregunta de la publicación:

¿Cuáles son algunos problemas dirigidos que siguen siendo NP-hard en los DAG?

En [1], se dan algunos problemas naturales en los gráficos dirigidos que siguen siendo NP-hard en los DAG. La motivación del artículo es encontrar una "buena" medida de ancho de árbol para los dígrafos. Argumentan que el inconveniente de muchas medidas para los dígrafos es que son constantes para los DAG, pero muchas contrapartes directas de los problemas naturales siguen siendo NP-duro en los DAG. Para más información sobre este tema, consulte también [2] y las referencias de estos documentos.

[1] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Alexander Langer, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith: sobre medidas de ancho de dígrafo en algoritmos parametrizados. IWPEC 2009: 185-197. Versión completa

[2] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Daniel Meister, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith, Somnath Sikdar: ¿Hay alguna buena medida de ancho de dígrafo? IPEC 2010, a aparecer. arXiv

— Serge Gaspers
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Se sabe que varios problemas de enrutamiento son NP-hard e incluso difíciles de aproximar a factores polinomiales en DAG. Estos incluyen problemas tales como rutas máximas de borde disjunto y minimización de congestión. Vea los documentos de Andrews, Chuzhoy, Khanna, Zhang y otros para obtener más consejos.

— Chandra Chekuri
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$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$ $G$ $G'$ $E(x,y)$ $\varphi$ $E(x,y)\lor E(y,x)$ $G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

— Regularidad
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Parece que este problema no está utilizando las direcciones de los bordes. Estoy buscando problemas dirigidos.

— Shiva Kintali

@ Shiva: ¿Por qué esto no cumple con sus criterios para un problema dirigido?

— András Salamon

@ András: el color del gráfico se preocupa por la presencia de un borde (u, v). No importa si el borde se dirige de u a v o de v a u. Por otro lado, Hamiltonian Path usa las direcciones de los bordes. Es posible cambiar las direcciones de algunos bordes y convertir una instancia de SÍ en una instancia de NO.

— Shiva Kintali

@ Shiva: ¿Entonces quiere una propiedad que se exprese mediante una fórmula que no sea simétrica (invariante bajo permutación de variables)?

— András Salamon

@ András: Exactamente.

— Shiva Kintali

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El famoso problema OPEN [8] de la lista de Garey y Johnson está más allá de P, pero está abierto a ser demostrado que es NP-C. Ese problema está en DAG. Cada ronda puede eliminar a lo sumo tres vértices que no tienen borde entrante. ¿Decidir si todos los vértices del DAG podrían eliminarse en rondas K? Abierto desde 1970.

— Peng Zhang
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