Minimizando los autómatas de estado finito residual

Los autómatas de estado finito residual (RFSA, definidos en [DLT02]) son NFA que tienen algunas características agradables en común con los DFA. En particular, siempre hay un RFSA canónico de tamaño mínimo para cada idioma regular, y el idioma reconocido por cada estado en el RFSA es residual, al igual que en un DFA. Sin embargo, mientras que los estados mínimos de DFA forman una biyección con todos los residuos, los estados canónicos de RFSA están en biyección con los residuos primarios; puede haber exponencialmente menos de estos, por lo que los RFSA pueden ser mucho más compactos que los DFA para representar lenguajes regulares.

Sin embargo, no puedo decir si hay un algoritmo eficiente para minimizar las RFSA o si hay un resultado de dureza. ¿Cuál es la complejidad de minimizar las RFSA?

Al navegar [BBCF10], no parece que esto sea de conocimiento común. Por un lado, espero que esto sea difícil porque hay muchas preguntas simples sobre las RFSA como "¿es esta NFA una RFSA?" son muy difíciles, PSPACE-complete en este caso. Por otro lado, [BHKL09] muestra que los RFSA canónicos se pueden aprender de manera eficiente en el modelo de maestro mínimamente adecuado de Angluin [A87], y aprender eficientemente un RFSA mínimo y minimizar los RFSA parece que debería ser de igual dificultad. Sin embargo, por lo que puedo decir, el algoritmo de [BHKL09] no implica un algoritmo de minimización, ya que el tamaño de los contraejemplos no está limitado y no está claro cómo probar de manera eficiente la igualdad de los RFSA para simular el oráculo del contraejemplo . Probar dos NFA para la igualdad es PSPACE-complete , por ejemplo.

Referencias

[A87] Angluin, D. (1987). Aprendizaje de conjuntos regulares de consultas y contraejemplos. Información y cálculo, 75: 87-106

[BBCF10] Berstel, J., Boasson, L., Carton, O. y Fagnot, I. (2010). Minimización de autómatas. arXiv: 1010.5318 .

[BHKL09] Bollig, B., Habermehl, P., Kern, C. y Leucker, M. (2009). Aprendizaje al estilo angluin de NFA. En IJCAI , 9: 1004-1009.

[DLT02] Denis, F., Lemay, A. y Terlutte, A. (2002). Autómatas de estado finito residual. Fundemnta Informaticae , 51 (4): 339-368.

— Artem Kaznatcheev
fuente

w^{- 1} L

$w^{-1}L$

Estoy interesado en cualquiera de las siguientes opciones: (1) se le otorga un DFA (todos los DFA mínimos son RFSA) y quiero que devuelva un RFSA mínimo que reconozca el mismo idioma (o alguna variante de decisión como: ¿uno? existe de tamaño menor que k donde k también se da como entrada). (2) se le da un NFA (que puede o no ser pequeño, y puede o no ser un RFSA) y se le pide que genere el RFSA mínimo; en este caso, la complejidad es obvia medida en el tamaño de entrada + salida. Incluso estoy interesado en (3) se le prometió (pero no se le dio certificado) que un NFA es RFSA, ¿es mínimo?

— Artem Kaznatcheev

$\to$ $A$ $k$ $k$ $A$ $\to$

$\to$ $A_1,A_2,\ldots,A_n$ $\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$L$ $k$ $L$ $A_i$ $L$ $k$ $\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$ $k+1$ $k$ $N$ $L$ $\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$R$ $S$ $(x_i,y_i)$ $i$ $x_iy_i\in L$ $i\neq j$ $x_iy_j \notin R$ $x_jy_i\notin R$

$S$ $k$ $\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$ $x_i$ $S$ $N$ $q_i$ $x_i$ $q$ $x_i^{-1}L$ $N$

$\to$ $\to$ $\to$ $\to$

$N$

T. Jiang y B. Ravikumar. Los problemas mínimos de NFA son difíciles. SIAM Journal on Computing, 22 (6): 1117–1141, diciembre de 1993.

Hermann Gruber y Markus Holzer. Encontrar límites más bajos para la complejidad del estado no determinista es difícil. En Oscar H. Ibarra y Zhe Dang, editores, décima Conferencia Internacional sobre Desarrollos en Teoría del Lenguaje (DLT 2006), Santa Bárbara (CA), EE. UU., Volumen 4036 de Lecture Notes in Computer Science, páginas 363--374. Springer, junio de 2006.

Hermann Gruber y Markus Holzer. Encontrar límites más bajos para la complejidad del estado no determinista es difícil. Informe técnico ECCC TR06-027, Coloquio electrónico sobre la complejidad computacional, 2006.

— Hermann Gruber
fuente