Integridad que abarca los árboles

Un árbol de expansión de un gráfico se llama árbol de integridad si el conjunto de sus hojas induce una subgrafía completa en el gráfico de host. Dado un gráfico y un entero k , ¿cuál es la complejidad de decidir si G contiene un árbol de completitud con, como máximo, k hojas?$G$$k$$G$$k$

Una razón para hacer esta pregunta es que el problema correspondiente para los árboles de independencia es NP-completo, aquí un árbol de independencia es un árbol de expansión tal que el conjunto de sus hojas es un conjunto independiente en el gráfico de host.

Otra razón es esta pregunta (y las respuestas correspondientes). Resulta que cada árbol de expansión de es un árbol de integridad si y solo si G es un gráfico completo o un ciclo. $G$$G$

En un gráfico sin triángulo, un árbol de integridad debe ser un ciclo hamiltoniano (menos uno de sus bordes). ISGCI dice que el ciclo hamiltoniano es NP completo en gráficos sin triángulo. Por lo tanto, también lo es encontrar un árbol de completitud (independientemente de cualquier restricción en el número máximo de hojas).

No puedo vencer a David en la elegancia de su respuesta. Pero después de pasar mucho tiempo pensando en este problema, me gustaría traicionar mi solución;)

Sea un número entero fijo. Dado G , construya H de la siguiente manera: tome dos copias G 1 , G 2 y una camarilla Q sobre k vértices x , x 1 , x 2 , … , x k - 1 , un nuevo vértice y , arregle un vértice v 1 ∈ G 1 y un vértice v 2 ∈ G 2 . H se obtiene de$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$ e y uniendo x a v 1 , uniendo x 1 , x 2 , … , x k - 1 a v 2 y uniendo todos los vecinos de v 1 en G 1 y todos los vecinos de v 2 en G 2 a y .$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$$G_1$$v_2$$G_2$$y$

Entonces se puede ver fácilmente que tiene un ciclo hamiltoniano si y solo si H tiene un árbol de integridad con como máximo k hojas.$G$$H$$k$