¿Qué tan difícil es el problema de Set Cover si el número de elementos está limitado por alguna función (por ejemplo, ) donde es el tamaño de la instancia del problema. Formalmente,
Let y F = { s 1 , ⋯ , S n } donde S i ⊆ U y m = O ( log n ) . ¿Qué tan difícil es decidir el siguiente problema?
¿Qué pasa si ?
Cualquier resultado basado en conjeturas bien conocidas (por ejemplo, Juegos únicos, ETH) es bueno.
Edición 1: Una motivación para este problema es descubrir cuándo el problema se vuelve difícil a medida que aumenta . Claramente, el problema está en P si m = O ( 1 ) y NP-hard si m = O ( n ) . ¿Cuál es el umbral para la dureza NP del problema?
Edición 2: existe un algoritmo trivial para decidirlo en el tiempo (que enumera todos los subconjuntos de tamaño m de F ). Por lo tanto, el problema no es NP-hard si m = O ( log n ) ya que ETH implica que no hay algoritmo en el tiempo O ( 2 n o ( 1 ) ) para ningún problema NP-hard (donde n es el tamaño del Problema NP-duro).