Límite inferior en el tamaño de subgrafos inducidos por intervalo máximo de un gráfico de -vértices

Sea un subgrafo de intervalo inducido máximo de un gráfico . Si¿Cuál es el número más pequeño de ? $H$ $G=(V,E)$ $n=|V|$ $V(H)$

El número es como máximo : considere un conjunto de agujeros distintos. $3n/4$ $4$

¿Puede ser más pequeño?

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— Yixin Cao
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Creo que la respuesta es y la prueba es la misma que la prueba clásica del teorema de Ramsey. Por un lado, siempre tiene una subgrafía completa o vacía con estos muchos vértices. Por otro lado, un gráfico aleatorio no tendrá una gran inducida sin . Para este último, limite el número de subgrafos inducidos en vértices por y para cada límite la probabilidad de estar de por donde es algo constante. Esto lo podemos hacer porque un gráfico completo en vértices contiene disjunto 's. $\Theta(\log n)$ $C_4$ $t$ $n^t$ $C_4$ $c^{t^2}$ $c<1$ $t$ $\Omega(t^2)$ $K_4$

Con más detalle, divida las aristas posibles entre cualquier vértice en camarillas disjuntas de cuatro vértices. En cualquier camarilla de cuatro vértices, la probabilidad de que los bordes entre ellos no formen un es alguna constante . Por lo tanto, la probabilidad de que no haya un en ninguna de las camarillas es . Este es claramente un límite superior para que el gráfico aleatorio no tenga . $t\choose 2$ $t$ $\Omega(t^2)$ $C_4$ $p<1$ $C_4$ $p^{\Omega(t^2)}$ $C_4$

— domotorp
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¡Excelente! ¿Puedes elaborar? He intentado este enfoque, pero mis herramientas probabilísticas están un poco oxidadas.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

¿Qué parte? La prueba sigue paso a paso la famosa prueba de Erdos: en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_method#First_example

— domotorp

La parte donde tenemos que la probabilidad de que el subgrafo en vértices sea ; en particular, no sé cómo vincular esto con . Además, no entiendo la relación entre la última oración y la segunda última oración.

H

$H$

t

$t$

C_{4}

$C_4$

c^{t^{2}}

$c^{t^2}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Ah, borde disjunto 4-camarillas. Tienes razón. ¡Gracias por la explicación! @ Yixin: Creo que domotorp tiene una respuesta mucho mejor. Deberías aceptar el suyo en lugar del mío.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Podemos hacer ; considere el gráfico completo -partito, siempre que haya dos partes, ambas con más de un nodo dentro, hay un inducido , por lo que no puede ser inteval. Por lo tanto, tenemos que eliminar al menos nodos para destruir todos los inducidos . $2\sqrt{n}-1$ $\sqrt{n}$ $C_4$ $(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$ $C_4$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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¡Excelente! ¿Podemos ir más allá para mostrar que este es el límite inferior? Realmente se ve uno. PD: Marcaré esto como una respuesta si no aparecen mejores respuestas.

— Yixin Cao