Seleccione dos números que sumen

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Aquí hay un problema vecino más cercano.

Dados los reales (¡muy grande !), Más el objetivo real , encuentre y cuyo SUM sea más cercano a . Permitimos un preprocesamiento / indexación razonable de (hasta $a_1, \ldots, a_n$ $n$ $p$ $a_i$ $a_j$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ ), pero en el momento de la consulta (dado ), el resultado debe devolverse muy rápido (por ejemplo, tiempo). $p$ $O(\log n)$

(Ejemplo más simple: si solo quisiéramos el SINGLE que está más cerca de , clasificaríamos fuera de línea, $a_i$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ , luego haría una búsqueda binaria en el momento de la consulta, ) $O(\log n)$

Soluciones que no funcionan:

1) Ordene fuera de línea, luego en el momento de la consulta, comience desde ambos extremos y mueva dos punteros hacia adentro ( http://bit.ly/1eKHHDy $a_1, \ldots, a_n$ ). No es bueno, debido al tiempo de consulta . $O(n)$

2) Ordene fuera de línea, luego en el momento de la consulta, tome cada y realice una búsqueda binaria para un "amigo" que lo ayude a sumar algo cercano a $a_1, \ldots, a_n$ $a_i$ $p$ . No es bueno, debido al tiempo de consulta . $O(n \log n)$

3) Ordenar todos los pares $(a_{1}, \ldots, a_{n})$ sin conexión, luego realice una búsqueda binaria. No es bueno, debido al preprocesamiento de . $O(n^2)$

¡Gracias!

PD. Otras generalizaciones necesarios para la práctica: (1) y para ser 50-dimensionales vectores, (2) "cerca" de ser vector de distancia coseno, y (3) -mejor más cercano pares-que-suma, no solo 1 mejor. $a_1, \ldots, a_n$ $p$ $k$

ds.algorithms cg.comp-geom ds.data-structures

— Kevin
fuente

¿Existe un límite en el tiempo de preprocesamiento o la cantidad de espacio que podemos usar después del preprocesamiento? Si estamos limitados al espacio

, ¿tiene alguna razón para creer que se puede resolver en, por ejemplo, el tiempo

? Eso me parece terriblemente improbable.

O (n)

$O(n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— DW

El preprocesamiento está limitado a O (

log

). Actualicé la declaración del problema.

n

$n$

n

$n$

— Kevin

No tengo ninguna razón para creer que las consultas pueden ser rápidas, pero muchos resultados útiles para los vecinos más cercanos (árboles kd, hashing sensible a la localidad, etc.) me parecen contraintuitivamente buenos. Una solución aproximada utilizando hashing sensible a la localidad estaría bien para un uso práctico.

— Kevin

17

Esto es casi ciertamente imposible.

Suponga que puede resolver su problema con el tiempo de preprocesamiento y el tiempo de consulta . Luego hay un algoritmo simple para resolver el problema de 3SUM: dado un conjunto de números reales, ¿tres elementos suman cero? En tiempo . Preprocesamos todos los números, luego para cada número , encontramos el valor de más cercano a $P(n)$ $Q(n)$ $n$ $P(n)+n\cdot Q(n)$ $a_k$ $a_i+a_j$ $-a_k$ ; si coincide $-a_k$ exactamente, hemos encontrado una solución al problema 3SUM.

Sin embargo, el algoritmo más rápido conocido para 3SUM se ejecuta en el tiempo , y se conjetura ampliamente que este algoritmo es óptimo. Además, hay un límite inferior en un modelo de cálculo de árbol de decisión restringido pero natural. Para conjuntos de enteros , existen algoritmos de tiempo ligeramente subcuadrático que "juegan juegos con bits", pero incluso en el modelo de RAM entera, se conjetura que 3SUM requiere $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ tiempo.

Asumiendo que la conjetura es correcta, su problema requiere tiempo de preprocesamiento (casi) cuadrático o tiempo de consulta (casi) lineal.

— Jeffε
fuente

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Si puede usar espacio ilimitado y tiempo ilimitado durante el preprocesamiento, la siguiente solución cumple con sus requisitos:

$\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$ $O(n^2)$ $O(n^2)$
$a_i,a_j$ $a_i+a_j$ $p$ $O(\lg n)$

Si esta solución no es aceptable, debe analizar detenidamente sus requisitos y editar la pregunta en consecuencia.

— DW
fuente

Hola y gracias Pero su solución es la misma que mi solución # 3, lo cual es problemático debido al tiempo de preprocesamiento de O (n ^ 2). En mi caso, n es muy grande (p. Ej., 1 m) y debo evitar las operaciones O (n ^ 2).

— Kevin