¿Cuál es la correlación entre el ancho del árbol y la dureza de la instancia para el 3-SAT aleatorio?

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Este reciente artículo de FOCS2013, Strong Backdoors to Bounded Treewidth SAT de Gaspers y Szeider habla sobre el vínculo entre el ancho del árbol del gráfico de la cláusula SAT y la dureza de la instancia.

Para instancias 3-SAT aleatorias, es decir, instancias 3-SAT elegidas al azar, ¿cuál es la correlación entre el ancho de árbol del gráfico de cláusula y la dureza de la instancia?

La "dureza de la instancia" se puede tomar como "difícil para un solucionador de SAT típico", es decir, el tiempo de ejecución.

Estoy buscando respuestas o referencias de estilo teórico o empírico. Que yo sepa, no parece haber estudios empíricos sobre esto. Soy consciente de que hay formas algo diferentes de construir gráficos de cláusulas SAT, pero esta pregunta no se centra en la distinción.

Tal vez una pregunta natural estrechamente relacionada es cómo se relaciona el ancho de árbol del gráfico de la cláusula con la transición de fase 3-SAT.

— vzn
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No es realmente una respuesta, sino las referencias más cercanas que conozco. Hay resultados disponibles para ancho de rama. Además, hay al menos un estudio empírico del ancho de árbol de instancias industriales.

Descubriendo el ancho del árbol , H. Bodlaender, 2005. Da algoritmos para calcular los límites del ancho del árbol.
Treewidth en Industrial SAT Benchmarks , R. Mateescu, 2011. Utiliza variaciones de los algoritmos anteriores para estimar el ancho de árbol de los puntos de referencia de la competencia SAT2009.
Algoritmos y resultados de complejidad para #SAT e inferencia bayesiana , F. Bacchus S. Dalmao, T. Pitassi, 2003. Relaciona el ancho de rama con la complejidad de #SAT, 2003.
Satisfacción, tautologías de ancho de rama y tseitina , Alekhnovich, Razborov, 2002.

— Vijay D
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En general, uno no esperaría que las instancias aleatorias de SAT tuvieran un ancho de árbol limitado, incluso si son fáciles. Aquí hay un ejemplo:

$n$ $3$ $\theta(n)$ $3$

$d$ $k$ $4 \cdot \frac{1}{2^k} \cdot dk \leq 1$ $d \leq \frac{2^k}{4k}$

$t$ $t$ $n/2$

— daniello
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Gracias por ideas. ofc no esperaba que las instancias aleatorias hubieran limitado el ancho del árbol; lo contrario es presumiblemente demostrable sin mucha dificultad. pero es un parámetro numérico que se puede comparar / correlacionar con la dureza de manera similar a muchos otros parámetros estudiados en la investigación empírica de puntos de transición SAT y parece que se espera alguna relación o correlación basada en la investigación existente.

— vzn

@vzn Mi punto es más que en los modelos aleatorios más comunes, el ancho del árbol sube por el techo antes de que las instancias se vuelvan computacionalmente difíciles. Por otro lado, las instancias de la `` vida real '' probablemente tengan un ancho de árbol mucho más pequeño que las aleatorias y espero que los solucionadores de SAT aprovechen (algo) de esto.

— daniello