Acerca de las gráficas planas generalizadas y las gráficas planas externas generalizadas

Cualquier gráfico plano , respectivamente, externo-plano satisface$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$ ,
respectivamente, , para cada subgrafo G ′ = ( V ' , E ' ) de G . Además, las gráficas planas (externas) se pueden reconocer en tiempo polinómico.$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Lo que se sabe sobre los gráficos modo que (resp. ) para cada subgrafo G ′ = ( V ′ , E ′ ) de G ? ¿Es posible reconocerlos en tiempo polinomial?$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Editar (después de la buena respuesta de Eppstein): cualquier gráfico plano satisface | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 por cada subgrafo G ′ = ( V ′ , E ′ ) de G con al menos tres vértices | V ′ | ≥ $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$. Por lo tanto, los "gráficos planos generalizados" serían aquellos que satisfagan esta propiedad, y reconocerlos en tiempo polinómico parece ser una pregunta abierta (interesante).

En la notación de Lee y Streinu (cita a continuación), la segunda clase que enumera son los gráficos dispersos (2,3). Dan un algoritmo para probar si un gráfico es (k, l) disperso en tiempo polinómico. Sin embargo, la situación con gráficos planos y es un poco más complicado, porque esa desigualdad no es verdadera para todos los conjuntos de vértices (si fuera cierto, no se podrían conectar dos vértices por un borde, porque 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$) Entonces la clase de gráficos (3,6) dispersos (en su notación) consiste solo en gráficos vacíos. Probablemente sus algoritmos se pueden extender a gráficos para los cuales la desigualdad se cumple para todos los conjuntos de más de dos vértices.

Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), "Algoritmos de juego de guijarros y gráficos dispersos", Discrete Mathematics 308 (8): 1425–1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arxiv: math / 0702129 .

¿Qué se sabe sobre los "gráficos de plano externo generalizado" o los gráficos dispersos (2,3)? Algunos hechos adicionales a la respuesta de DavidEpspstein:

En 1982, en este trabajo (Corolarios 1 y 2), Lovász y Yemini caracterizaron gráficos de plano externo generalizados (en su notación, gráficos independientes genéricos ) como aquellos gráficos tienen la propiedad de que duplicar cualquier borde de G da como resultado un gráfico que es el borde -unión desunida de dos bosques.$G$$G$

Muy previamente, en 1970, Henneberg y Laman demostraron que los gráficos del plano exterior generalizado pueden obtenerse recursivamente de mediante tres movimientos llamados de Henneberg (agregando un vértice de grado 1, agregando un vértice de grado 2 y un cierto tipo de sumando un vértice de grado 3).$K_2$

Estas caracterizaciones dan los primeros reconocimientos polinómicos para gráficos de plano externo generalizados.

Algunos comentarios relacionados con los gráficos planos generalizados se pueden encontrar en la última sección de este documento . Creo que caracterizar y reconocer gráficos planos generalizados siguen siendo preguntas abiertas muy interesantes.