Motivación para la estimación del volumen.

¿Cuáles son algunas aplicaciones concretas y convincentes para estimar el volumen de poliedros convexos del tipo considerado en los documentos más recientes sobre métodos de caminata aleatoria?

Estos documentos sobre estimación de volumen mencionan la integración numérica como una motivación. ¿Cuáles son ejemplos de integrales que la gente quiere calcular en la práctica que son muy difíciles de calcular utilizando métodos anteriores? ¿O hay alguna otra aplicación práctica convincente para calcular el volumen de un politopo de 1000 dimensiones?

La estimación del volumen de un politopo convexo y la tarea estrechamente relacionada de tomar muestras de él tienen aplicaciones en la liberación de datos privados.

Aproximadamente, el problema que desea resolver es: dada una colección de consultas con valores numéricos en una base de datos, encontrar respuestas a esas preguntas que estén lo más cerca posible de las respuestas reales, al tiempo que satisface la privacidad diferencial. En algún rango de parámetros, el algoritmo óptimo para resolver este problema tiene una descripción geométrica, y su implementación implica el muestreo de un politopo convexo. Ver aquí: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

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En seguridad informática, el trabajo sobre el flujo de información cuantitativa ha aplicado estos métodos para estimar la cantidad de información confidencial que un programa en particular podría filtrar. Aquí construimos un poliedro que representa posibles estados del programa en un punto particular de su ejecución, y luego queremos estimar algo sobre el número de posibles estados (esto está relacionado con la cantidad de información publicada). Por lo tanto, en cierto punto del análisis, terminan tratando de contar el número de puntos enteros contenidos dentro del poliedro. Esto huele relacionado con la estimación de volumen (para mí).

Aquí hay un documento temprano que es representativo:

• Descubrimiento automático y cuantificación de fugas de información . Michael Backes, Boris Kopf, Andrey Rybalchenko. IEEE Seguridad y Privacidad 2009.

Dicho esto, esto podría no ser exactamente lo que estás buscando. Requiere métodos para contar el número de puntos enteros dentro del poliedro, que no es lo mismo que el volumen del poliedro. Además, no creo que necesiten analizar poliedros de dimensión 1000 o superior (aunque no estoy seguro de eso).

Hari Narayanan recientemente publicó un artículo sobre el arXiv en el que usa la estimación del volumen de un politopo convexo para probar ciertos resultados sobre los coeficientes de Littlewood-Richardson (LR). Los coeficientes LR son ciertos enteros en la teoría de la representación que tienen aplicaciones en la teoría de la complejidad geométrica, la física de partículas y muchos otros campos (consulte la introducción del documento anterior para obtener más referencias). De nuevo, probablemente no sea exactamente lo que querías, pero una conexión interesante, no obstante.

véase, por ejemplo: Estimación del volumen N-dimensional de cuerpos convexos: Algoritmos y aplicaciones de Sharma, Prasanna, Aswal para un ejemplo / estudio de caso en pronósticos económicos, es decir, gestión de la cadena de suministro.

Nuestros métodos se pueden utilizar para cuantificar el contenido de información y la incertidumbre, en regiones de restricción, en un marco de optimización robusto. Mostramos aplicaciones en la gestión de la cadena de suministro, en condiciones de incertidumbre futura.

Básicamente, la idea es que un politopo puede modelar un "escenario futuro" de parámetros de una configuración de gestión de la cadena de suministro. La incertidumbre (o "error") en el modelo / estimación se toma como proporcional al volumen de los politopes. ver diapositivas 3,4. esto luego permite:

• estimación cuantitativa de la incertidumbre
• generación de información equivalente
• ayuda en análisis hipotético

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Politopes de Birkhoff, núcleos de calor y complejidad gráfica por Francisco Escolano, Edwin R. Hancock, Miguel A. Lozano, 2008