Estoy interesado en la complejidad parametrizada de lo que llamaré el problema d-Dimensional Hitting Set: dado un espacio de rango (es decir, un sistema / hipergrafía establecido) S = (X, R) que tiene una dimensión VC como máximo d y a entero positivo k, ¿contiene X un subconjunto de tamaño k que alcanza cada rango en R? La versión parametrizada del problema está parametrizada por k.
¿Para qué valores de d es el problema d-Dimensional Hitting Set?
- en FPT?
- en W [1]?
- W [1] -duro?
- W [2] -duro?
Lo que sé se puede resumir de la siguiente manera:
El Conjunto de Golpes 1-Dimensional está en P y, por lo tanto, en FPT. Si S tiene dimensión 1, entonces no es difícil demostrar que hay un conjunto de golpes de tamaño 2 o que la matriz de incidencia de S está totalmente equilibrada. En cualquier caso, podemos encontrar un conjunto mínimo de golpes en el tiempo polinómico.
El conjunto de golpes de 4 dimensiones es W [1] duro. Dom, Fellows y Rosamond [PDF] demostraron una dureza W [1] para el problema de apuñalar rectángulos paralelos al eje en R ^ 2 con líneas paralelas al eje. Esto puede formularse como Hitting Set en un espacio de rango de VC-dimension 4.
Si no se establece ninguna restricción en d, entonces tenemos el problema estándar de conjunto de golpes que es W [2] -completo y NP-completo.
Langerman y Morin [citeseer link] dan algoritmos FPT para Set Cover en dimensión restringida, aunque su modelo de dimensionalidad limitada no es el mismo que el modelo definido por la dimensión VC limitada. Su modelo no parece incluir, por ejemplo, el problema de golpear medios espacios con puntos, aunque el problema prototipo para su modelo es equivalente a golpear hiperplanos con puntos.