Clases de grafos para los cuales el diámetro puede ser calculado en tiempo lineal

Recordemos el diámetro de un gráfico es la longitud de un camino más largo más corto de . Dado un gráfico, un algoritmo obvio para calcular resuelve el problema de la ruta más corta de todos los pares (APSP) y devuelve la longitud de la ruta más larga encontrada. $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

Se sabe que el problema de APSP se puede resolver en un tiempo óptimo para varias clases de gráficos. Para los gráficos generales, existe un enfoque teórico de gráficos algebraicos que se ejecuta en el tiempo , donde es el límite para la multiplicación de matrices. Sin embargo, calcular el diámetro aparentemente no está críticamente vinculado a APSP, como lo muestra Yuster . $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

¿Se conocen algunas clases de grafos no triviales para las cuales el diámetro puede calcularse aún más rápido, por ejemplo en tiempo lineal?

Estoy especialmente interesado en los gráficos cordales y cualquier subclase de gráficos cordales, como los gráficos de bloques. Por ejemplo, creo que el diámetro de un gráfico cordal se puede calcular en el tiempo , si es únicamente representable como un árbol de camarilla. Tal gráfico también se conoce como ur-cordal . $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— Juho
fuente

Para el cálculo del diámetro, una vez que se da el árbol de la camarilla, los gráficos cordales se comportan (casi) igual que los árboles. Del mismo modo, en un gráfico de intervalos, un par dominante (que existe en cualquier gráfico libre de AT) necesariamente decide el diámetro.

— Yixin Cao

@YixinCao Pero, en general, el número de árboles de camarillas distintos que puede tener un gráfico cordal es exponencial en el número de vértices. Además, no creo que el diámetro sea el mismo en cada árbol de camarilla. Creo que esto es un problema, pero en un gráfico ur-cordal el diámetro del árbol de la camarilla no es ambiguo. ¿Tenías algo más en mente?

— Juho

k + 1

$k+1$

k

$k$

@YixinCao OK, ahora entiendo mejor. Aun así, un algoritmo (rápido) todavía no es obvio para mí. Si tiene detalles o referencias adicionales, ¡no dude en hacerlo!

— Juho

$v$ $v$

$\{\text{AT},\text{claw}\}$

$m = \Omega(n^2)$ $K_n$ $o(n^2)$ $O(m+n)$ $o(n^2)$

$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(fuente: graphclasses.org )}

Feodor F. Dragan, Falk Nicolai y Andreas Brandstädt, ordenamientos LexBFS y poderes de los gráficos , WG 1996, LNCS 1197, 166–180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

$\log n$

Derek G. Corneil, Lexicographic Breadth First Search - A Survey , WG 2004, LNCS 3353, 1–19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— András Salamon
fuente

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

Los gráficos de bloques mencionados en la pregunta son hereditarios de distancia. En [1] se proporciona un algoritmo de tiempo lineal para calcular el diámetro de los gráficos hereditarios de distancia (ver Teorema 5).

[1] Dragan, Feodor F. Dominando camarillas en gráficos hereditarios de distancia. Springer Berlin Heidelberg, 1994.

— Juho
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