encontrar los elementos k más pequeños en la matriz en O (k)

Esta es una pregunta interesante que he encontrado en la web. Dada una matriz que contiene n números (sin información sobre ellos), debemos preprocesar la matriz en tiempo lineal para que podamos devolver los k elementos más pequeños en el tiempo O (k), cuando se nos da un número 1 <= k <= n

He estado discutiendo este problema con algunos amigos pero nadie pudo encontrar una solución; ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

notas rápidas: -el orden de los k elementos más pequeños no es importante -los elementos en la matriz son número, pueden ser enteros y pueden no serlo (por lo que no hay clasificación de radix) -el número k no se conoce en la etapa de preprocesamiento. el preprocesamiento es O (n) tiempo. la función (encontrar k elementos más pequeños) en el tiempo O (k).

Preprocese la matriz de valores en el tiempo :O ( n $n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• mientras$i>2$
  • Calcule la mediana de en el tiempoA [ 1 .. i ] O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • partición en A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m y A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ m en el mismo tiempo.$A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

El tiempo total de precálculo está dentro de $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

Responda una consulta para los elementos más pequeños en A en el tiempo O ( k ) :$k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• seleccione el th elemento x de A [ 2 l . .2 l + 1 ] en el tiempo O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• partición por x al mismo tiempo$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

contiene los k elementos más pequeños.$A[1..k]$$k$

Referencias

• En 1999, Dor y Zwick dieron un algoritmo para calcular la mediana de elementos en el tiempo dentro de 2.942 n + o ( n ) comparaciones, lo que arroja un algoritmo para seleccionar el elemento k entre n elementos no ordenados en menos de 6 n comparaciones.$n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

Supongamos por simplicidad que . Use el algoritmo de selección de tiempo lineal para encontrar los elementos en las posiciones 2 m - 1 , 2 m - 2 , 2 m - 3 , ... , 1 ; Esto lleva tiempo lineal. Dado k , encuentre t tal que 2 t - 1 ≤ k ≤ 2 t ; tenga en cuenta que 2 t ≤ 2 k . Filtrar todos los elementos de rango como máximo 2 $n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$, y ahora use el algoritmo de selección de tiempo lineal para encontrar el elemento en la posición en el tiempo O ( 2 t ) = O ( k ) .$k$$O(2^t) = O(k)$

Aclaración: puede parecer que el preprocesamiento lleva tiempo , y ese es el caso si no tiene cuidado. Aquí se explica cómo hacer el preprocesamiento en tiempo lineal:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

$O(n)$$O(k)$$k$

Frederickson, Greg N. , Un algoritmo óptimo para la selección en un montón mínimo , Inf. Comput 104, núm. 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

$k$$k$