¿Colapsa la jerarquía

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

La entrada del zoológico para $\mathsf{TC^0}$ solo menciona la separación entre la profundidad 2 y 3.

¿También hay una referencia estándar para el hecho de que la jerarquía $\mathsf{AC^0_d}$ no colapsa?

— Kaveh
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Una pregunta relacionada sería, ¿cuántas funciones distintas hay en

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ /

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$ ? Un límite inferior razonable en estas cantidades respondería a sus preguntas. También una prueba de rigidez para el lema de cambio de Hastad quizás respondería a su segunda pregunta.

— MCH

Para la segunda pregunta, creo que se demostró por primera vez en el documento STOC '83 de Sipser "Conjuntos de Borel y complejidad del circuito" . Sin embargo, esto solo da límites inferiores súper polinomiales. Los primeros límites inferiores exponenciales fueron dados por Yao, luego mejorado por Håstad.

— Robin Kothari

@MCH, ¿quiso escribir

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$ ? ¿O quiere decir el número de clases de equivalencia de problemas en las

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$ wrt

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$ ?

— Kaveh

Lo que quiero decir es muy simple: ¿cuántas funciones distintas puede representar la clase de circuitos de tamaño ? (Podemos estimar el número de circuitos muy fácilmente, pero debemos tener cuidado de que algunos de ellos puedan calcular la misma función). Una vez que demuestre que esta cantidad crece con , ya está.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth, no uniforme. El conteo no parece funcionar, de lo contrario, como señalé a continuación, podríamos separar de que está abierto.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

Respuestas:

No conocemos buenos límites inferiores (es decir, un límite inferior superpolinómico para un idioma en ) para circuitos de umbral de profundidad 2 (pesos ilimitados). Los circuitos de profundidad 3 construidos a partir de compuertas mayoritarias, es decir, contiene esta clase y, por lo tanto, tampoco conocemos límites inferiores buenos para esta clase. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Esto responde a mi pregunta. Gracias Kristoffer

— Kaveh

Como escribí en el comentario anterior, incluso si no se sabe que un problema en NEXP está fuera de TC , ¿no es posible que la jerarquía TC no uniforme sea adecuada mediante un argumento de conteo límite inferior?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth

Además, puedo preguntar, ¿cómo es esto consistente con los límites inferiores exponenciales conocidos en TC y la separación de los circuitos de umbral de profundidad 3 de profundidad 2, como se informó en el complejo zoológico? ¿Me estoy perdiendo de algo?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@Dilworth, creo que se debe a que se define utilizando Mayoría, no Umbral.

— Kaveh

Hmm ... ¿qué quieres decir exactamente? ¿Está esto relacionado con la nota hecha por Kristoffer sobre "pesos ilimitados"?

— Dilworth

Si no estoy cometiendo un error, parece que probar que la jerarquía no colapsa es al menos tan difícil como separar de : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Denotemos el problema de evaluación de fórmula booleana por . está completo para bajo las reducciones de . $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Por Manindra Agrawal, Eric Allender y Steven Rudich, " Reducciones en la complejidad del circuito: un teorema de isomorfismo y un teorema de brecha ", 1999, se completa para bajo reducciones. $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Suponga que . Luego por algún . Por lo tanto, . Lo que significa que . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Entonces para todos los tenemos $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ implica y . $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
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