Problemas de decisión vs funciones

La teoría de la complejidad parece estar construida alrededor de problemas de decisión más que de funciones.

¿Quién introdujo esto primero y cuál es la razón de esta elección?

Por ejemplo, el papel de "Caminos, árboles y flores" de Edmonds se acredita generalmente como la fuente de la noción de representando el conjunto de problemas "manejables" y este es el camino que hemos tomado.$\mathsf{PTime}$

Otra razón es que esto es a menudo sin pérdida de generalidad, ya que con frecuencia (aunque no siempre, ver más abajo) la complejidad de las funciones y los problemas de decisión son equivalentes. Cada problema de decisión puede verse como una función cuyos únicos valores son 0 y 1. Por el contrario, dada una función , hay varios problemas de decisión asociados que generalmente tienen la misma complejidad que f , por ejemplo:$f$$f$

• elbit i -ésimo de f ( x ) es 1 } .$\{(x,i) :$$i$$f(x)$$\}$
• (o ≥ )$\{(x,k) : f(x) \leq k\}$$\geq$

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}[\log ]} = \mathsf{P}^{\mathsf{NP}}_{tt}$$\mathsf{FP}^{\mathsf{NP}[\log ]} = \mathsf{FP}^{\mathsf{NP}}_{tt}$$\mathsf{NP} = \mathsf{RP}$$\mathsf{P} = \mathsf{UP}$Selman 1994 ].

$^{\mathsf{NP}[\log]}$$O(\log n)$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}_{tt}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$x$$y_i$$i$$y_i$$x$$y_1, \dotsc, y_m$$y_i$

La teoría de la complejidad se basa en la teoría de la computabilidad, y la formulación típica de problemas en la teoría de la computabilidad es como problemas de decisión, que surgen naturalmente de su configuración como preguntas sobre la membresía establecida.

Las raíces de la teoría de la computabilidad se remontan de alguna manera, pero si desea el primer ejemplo sólido de un problema de decisión, entonces el problema Entscheidungsproblem de Hilbert es su ejemplo: es alemán para "problema de decisión".

Solo una parte de la historia:

El artículo seminal de 1963 de Hartmanis y Stearns, "Sobre la complejidad computacional de los algoritmos", introdujo las definiciones de complejidad cuantificada de tiempo y espacio en el modelo de máquina de Turing de múltiples cintas y mostró que, dado más tiempo / espacio, una TM puede calcular más cosas.

... La complejidad computacional de una secuencia se mide por la rapidez con que una máquina Turing de múltiples cintas puede imprimir los términos de la secuencia. ...

Donde "secuencia" es una secuencia genérica. Luego, al definir una secuencia computable en T , restringen la atención a las secuencias binarias:

$\alpha = a_1 a_2 ...$

$S_T$$T(n)$$S_T$

Y luego en el Corolario 2.8:

$n$

Con un enlace hacia atrás al trabajo de Hilbert y Church / Turing sobre el problema de la detención:

$T$$\alpha$$S_T$