Complejidad del problema de cobertura de intervalo

Considere el siguiente problema $Q$ : Se nos da un número entero , y intervalos con . También se nos dan enteros . La tarea es seleccionar un número mínimo de intervalos $n$ $k$ $[l_i,r_i]$ $1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$ $2n$ $d_1,…,d_{2n}\geq 0$ $[l_i,r_i]$ tal que para cada , se seleccionan al menos intervalos que contienen el número entero . $i=1,…,2n$ $d_i$ $i$

No es difícil ver que puede resolverse en tiempo polinómico (ver más abajo). $Q$

Ahora considere el siguiente problema $Q’$ ligeramente modificado : La entrada del problema es la misma que antes. Sin embargo, la tarea ahora es seleccionar un número mínimo de intervalos de modo que para cada , al menos intervalos que contengan el entero o al menos intervalos que contengan el entero están seleccionados (con "o" nos referimos a la lógica habitual o). $i=1,…,n$ $d_{2i-1}$ $2i-1$ $d_{2i}$ $2i$

Mi pregunta: ¿Se puede resolver en tiempo polinómico? $Q’$

Aquí hay dos formas de resolver eficientemente: $Q$

Un algoritmo codicioso simple: recorra los intervalos de izquierda a derecha y seleccione solo los intervalos necesarios para "satisfacer" los números . Siempre que haya una opción entre diferentes intervalos, elija uno (s) con el punto final derecho máximo. $d_i$

Un programa entero: para cada intervalo introduzca una variable de decisión con si se selecciona el intervalo. El objetivo es minimizar , sujeto a las restricciones $[l_i,r_i]$ $x_i\in\{0,1\}$ $x_i=1$ $x_1+…+x_k$ $\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$ . La matriz de restricción de este programa entero tiene las propiedades consecutivas y, por lo tanto, la relajación de la programación lineal de este programa tiene una solución óptima entera.

Gracias por cualquier pista, y también por referencias!

cc.complexity-theory np-hardness

— Torsten Mütze
fuente

-1

Cada instancia de Q puede transformarse en una instancia del problema de cobertura de conjunto múltiple, donde las ubicaciones son los intervalos , que cubren una secuencia consecutiva de puntos de demanda (= enteros ). $[l_i,r_i]$ $d_i$

— Benjamín
fuente

¿Puede mejorar la respuesta agregando la definición de Problema de cobertura de conjunto múltiple (MSCP) y más detalles sobre la reducción? En particular, una instancia de MSCP (al menos la "versión" que conozco) es un gráfico bipartito

y solo

es una unión de conjuntos disjuntos; ¿De qué manera la reducción asigna los bordes de

G = (V_{1}, V_{2}, E)

$G = (V_1,V_2,E)$

V_{1}

$V_1$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

— Marzio De Biasi