Golpeando conjuntos con una subfamilia

Sea una familia de subconjuntos de elementos de un universo finito de objetos. Una familia de subconjuntos -elemento de , con , es una - hitting-set de si, para cada existe al menos un conjunto tales que .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Dada una colección como anteriormente, el - golpear-set problema es encontrar un más pequeño -hitting set- para .$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

Cuando tenemos el problema estándar de conjunto de golpes, y hay muchos resultados anteriores para ello. Sé de análisis parametrizados para el caso con y (ver Brankovic y Fernau , por ejemplo).$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

¿Alguien sabe algún resultado con respecto a la complejidad o la dureza de la aproximación del problema -hit-set con:$(k,d)$

1. $k = 1$ y ?$d = 4$
2. $d = 4$ y ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ y arbitraria?$d$

Para una constante el problema del conjunto de golpes no es más difícil que el conjunto original de golpes (es decir, ) en vista de la aproximación y la complejidad parametrizada. Hay una reducción simple de -HS a -HS. Para una instancia del primer problema, obtenemos una instancia de del segundo en el que cada elemento corresponde a un subconjunto de elementos de , y cada conjunto en corresponde a un conjunto en de la misma manera (es decir, mapeando todos$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$ subconjuntos de elementos de a elementos en ). Dado que es una constante, el tamaño de la nueva instancia es una función polinómica del tamaño de la primera instancia ( ). Un conjunto de golpes para el primer problema corresponde a un conjunto de golpes de la misma cardinalidad para el segundo problema y viceversa, por lo tanto, la reducción es la preservación de la aproximación.$U$$U'$$k$$O(n^k)$