Algoritmos de aproximación para corte mínimo dirigido con restricciones de cardinalidad

Nos gustaría saber si existen resultados de aproximación conocidos para el corte - mínimo de cardinalidad restringido en los gráficos dirigidos. No pudimos encontrar ningún resultado en la literatura. $s$ $t$

El problema se define de la siguiente manera:

Instancia: Un gráfico dirigido , una función de costo , dos vértices y un entero . $G=(V,E)$ $w : E \to \mathbb{R_0^+}$ $s,t \in V$ $k$

Solución: un corte - , es decir, una partición de en dos conjuntos modo que , y el número de bordes que cruzan el corte es como máximo , es decir, . $s$ $t$ $V$ $V_1, V_2$ $s \in V_1$ $t \in V_2$ $k$ $|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k$

Medida (para minimizar): El costo del corte:

\sum_{(u, v) \in E : u \in V_{1}, v \in V_{2}} w (u, v)

$\sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v)$

En " Problemas de cardinalidad restringida y multicriterio (multi) corte ", los autores demuestran que este problema es fuertemente NP-Hard, incluso para gráficos no dirigidos.

Estamos principalmente interesados en algoritmos de aproximación para gráficos dirigidos, pero los resultados de aproximación para el caso no dirigido también pueden ser útiles.

Gracias por cualquier idea.

— Steven
fuente

Lo siento, no es una respuesta, en realidad quiero preguntar cómo transferir la aproximación de dos criterios a la aproximación de criterios únicos. por favor perdoname.

— Jianhao Ma

Podemos obtener una aproximación de dos criterios de la siguiente manera (o más generalmente aproximación de dos criterios). $(2,2)$ $(1+\varepsilon, 1 + 1/\varepsilon)$

Podemos suponer que sabemos el costo de la solución óptima. Denotalo por . Deje Considere la solución óptima . Entonces $OPT$

w^{'} (u, v) = \frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k} .

$w'(u,v) = \frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}.$

(V_{1}, V_{2})

$(V_1, V_2)$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} w^{'} (u, v) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} (\frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k}) = 1 + \frac{| E (V_{1}, V_{2}) |}{k} \leq 2.

$\sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} w'(u,v) = \sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} \left(\frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}\right) = 1 + \frac{|E(V_1,V_2)|}{k} \leq 2.$

Nuestro algoritmo encuentra el corte - dirigido mínimo en con pesos de borde . El costo de este corte es como máximo . Por lo tanto, el corte corta como máximo bordes. El costo del corte es como máximo $s$ $t$ $(V_1', V_2')$ $G$ $w'$ $2$ $(V_1', V_2')$

E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'}) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} 1 \leq k \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 k

$E(V_1', V_2') = \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2') } 1 \leq k \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2k$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w (u, v) \leq O P T \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 O P T .

$\sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w(u,v) \leq OPT \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2OPT.$

— Yury
fuente

Muchas gracias. Su algoritmo es muy interesante y perspicaz. Desafortunadamente, parece que un algoritmo de aproximación de bicriterios no es suficiente para nosotros, ya que necesitamos todas las soluciones aproximadas para ser factibles con la restricción de cardinalidad. ¿Sabes si algún resultado de este tipo se conoce en la literatura? ¡Gracias de nuevo!

— Steven

Con este enfoque, puede obtener aproximación. Probablemente, también puede obtener una aproximación usando LP. Pero obtener algo mejor que eso parece ser bastante difícil. En particular, hay una brecha de integralidad LP para la relajación LP natural. Sea . Conecte a con bordes de peso 1 cada uno, conecte a con bordes de peso 0. La solución combinatoria óptima tiene un costo . La asignación solución LP óptima a los bordes de a , y

k

$k$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

V = s, t, x

$V={s,t,x}$

s

$s$

x

$x$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x

$x$

t

$t$

k + 1

$k+1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x_{e} = 2 / (k + 1)

$x_e=2/(k+1)$

s

$s$

x

$x$

x_{e} = 1 - 2 / (k + 1)

$x_e=1-2/(k+1)$ a las aristas de a . Su costo es . La brecha es .

x

$x$

t

$t$

1

$1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

— Yury

Gracias por su respuesta, lo que dice sugiere que podría ser difícil desarrollar una "buena" aproximación de monocretería para el problema, ya que incluso el -apx puede ser bastante malo. Gracias de nuevo por sus ideas! :)

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

— Steven