Sobre Inverse 3-SAT

Contexto : Kavvadias y Sideri han demostrado que el problema Inverso 3-SAT es coNP Completo: Dado un conjunto de modelos en n variables, ¿existe una fórmula 3-CNF tal que ϕ es su conjunto exacto de modelos? Surge una fórmula candidata inmediata que es la conjunción de todas las 3 cláusulas satisfechas por todos los modelos en ϕ .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Como contiene todas las 3 cláusulas que implica, esta fórmula candidata se puede transformar fácilmente en una fórmula equivalente que está cerrada en resolución 3 - El cierre 3 de una fórmula es el subconjunto de su cierre en resolución que contiene solo cláusulas de tamaño 3 o menos Una fórmula CNF se cierra bajo resolución si todos los posibles disolventes están incluidos en una cláusula de la fórmula: una cláusula c 1 está incluida en una cláusula c 2 si todos los literales de c 2 están en c 1 .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Dado , una asignación parcial de las variables de modo que no sea ​​un subconjunto de ningún modelo de ϕ .$I$$I$$\phi$

Llamar , la fórmula inducida mediante la aplicación de I a F φ : Cualquier cláusula que contiene un literal que evalúa a t r u e bajo I se elimina de la fórmula y cualquier literales que se evalúan como f un l s e bajo I se suprimen de todas las cláusulas .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Llame a , la fórmula que deriva de F ϕ | I por todas las posibles soluciones 3-limitadas (en la que el resolvente y los operandos tener como máximo 3 literales) y subsunciones.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Pregunta : ¿Es 3-cerrado bajo resolución?$G_{\phi|I}$

Respuesta: Sí (incluso si un subconjunto de algún modelo de ϕ )$I$$\phi$

Let el conjunto de cláusulas que derivan de F ϕ ∪ F ϕ | I por todas las posibles resoluciones y subsunciones limitadas en 3 ( R | I es el cierre limitado en 3 de F ϕ ∪ F ϕ | I ). Dada c una cláusula implicada por F ϕ , existe al menos un subconjunto de R | I cuyas cláusulas implican c . Nombre R c tal subconjunto.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Sea la siguiente propiedad: Para todo c implicado por F ϕ tal que | c | Yo | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

tal que | R c | ≤ k ⇒ c | I está subsumido por alguna cláusula ∈ G ϕ | Yo$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Aquí comienza la recurrencia. Dado implicado por F ϕ tal que | c | Yo | ≤ 3 , es decir, c | I ∈ el 3-cierre de F ϕ | I .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Si ∃ R c ⊆ R | Yo / | R c | = 1 entonces R c = { d } ( d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | I subsume c ) y c | I está subsumido por d | I ∈ F ϕ | I (tenga en cuenta que cualquier cláusula de F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$está subsumido por alguna cláusula de ) Así P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Suponga que para k ≥ 1 . Si ∃ R c ⊆ R | Yo tal que | R c | ≤ k + 1 (y ningún otro R c de tamaño 1 tal que c ∉ F ϕ y | c | > 3 ) suponga que c = ( α β γ L I ) donde α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ son literales no establecidos por I y L I es un subconjunto de literales todos evaluados a 0 bajo I ( L I ≠ ∅ ) , es decir, c | I = ( α β γ ) , con α , β , γ no necesariamente diferente. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Eliminar una cláusula de R c tal que | d i | Yo | < | d i | ≤ 3 , en otras palabras, tal que d i contiene algún literal de L I (hay al menos una de esas cláusulas en R c desde L I ≠ ∅ ) y | d i | Yo | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. El tamaño del conjunto restante es ≤ k . Si cierta cláusula c ′ = ( α β γ L ′ I ) está implícita en R c ∖ d i (donde L ′ I es un subconjunto de literales, todos se evalúan a 0 bajo I ) entonces | c ′ | Yo | = 3 y ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ tal que | R c ′ | ≤k. PorP(k), c ' | I =(αβγ)está subsumido por alguna cláusula∈ G ϕ | I , induciendoP(k+1)parac.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Si contiene ˉ α o ˉ β o ˉ γ, entonces d i | I es inútil dar a entender [alguna cláusula subsumir] c . Entonces R c ∖ d i implica c , induciendo P ( k + 1 ) como se mostró anteriormente.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Si subsume c | I entonces P ( k + 1 ) se satisface para c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Si subsumo c | I y no contiene ˉ α o ˉ β o ˉ γ, entonces d i | I = ( x ) o d i | I = ( a x ) o d i | I = ( x y ) , donde x e y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ y no están establecidos por I , y a ∈ { α β γ } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Si entonces R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) (recuerde que implicar una cierta cláusula C significa implicar una cláusula que subsume C ). Desde cualquier resolución con d i | I = ( x ) como operando elimina ˉ x del otro operando, entonces no hay cláusula de R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$contiene (ya que R c ∖ d i ⊆ R | I, que es el cierre de 3 limitadas de F ϕ ∪ F ϕ | I ). Entonces R c ∖ d i implica ( α β γ L I ) , induciendo P ( k + 1 ) como se muestra en el Punto (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Si entonces R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) . Reemplace ˉ x por a en cada posible cláusula de R c ∖ d i (si la nueva cláusula está subsumida por alguna cláusula en R | I , conserve la cláusula subsumidora . De todos modos, la cláusula de reemplazo está en R | I ). Nombre R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ el conjunto resultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Entonces R c , d i implica(αβγ L I ), induciendoP(k+1)como anteriormente.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Si entonces R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) y ( ˉ y α β γ L I ) . Reemplace ˉ x por y en cada posible cláusula de R c ∖ d i (como arriba, si la nueva cláusula está subsumida por alguna cláusula en R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, mantenga la cláusula subsumidor en su lugar Nombre el conjunto resultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Entonces R c , d i implica ( y α β γ L I ) . Como implica también ( ˉ y α β γ L I ), entonces implica el resolvente ( α β γ L I ) , induciendo $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Por esta recurrencia, cualquier cláusula el 3-cierre de F ϕ | I está subsumido por alguna cláusula ∈ G ϕ | Yo (al revés también). Entonces G ϕ | I corresponde al cierre 3 de F ϕ | I .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

No veo cómo se puede calcular en tiempo polinómico becuase haciendo propia resolución lleva tiempo exponencial (en el peor de los casos). Por ejemplo, supongamos que su fórmula 3-CNF candidata F 1 es la siguiente: F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } $F_\phi$$F_1$

$F_\phi$