Esta respuesta tiene dos partes, juntas que muestran que el límite correcto es :Θ(logN)
- Un límite inferior de (multiplicado por el radio del primer círculo).Ω(logN)
- Un límite superior coincidente de .O(logN)
Límite inferior de Ω ( lognorte)
Considere dos círculos unitarios que se tocan en un punto . (Ver abajo; p está a la derecha, el error comienza a la izquierda). Alterna entre un círculo y el otro. El error viajará hacia arriba y hacia abajo en zigzag a través de la grieta entre los dos círculos, moviéndose principalmente hacia arriba y hacia abajo, pero también progresando lentamente hacia la derecha. Si hice la trigonometría correctamente, después de N pasos, la distancia desde el punto común será Θ ( 1 / √pagpagnorte, y laNº paso hará que el error de caminarΘ(1/N), para una distancia total deΘ(logN).Θ ( 1 / N--√)norteΘ ( 1 / N)Θ ( registronorte)
Aquí hay un bosquejo de los cálculos. Considere algunos dos pasos consecutivos que realiza el error. Va de algún punto , a b , a c . Puntos a y c son en el mismo círculo; el punto b está en el otro círculo. Vamos o ser el centro del círculo que una está encendido. Considere los siguientes tres triángulos, en orden decreciente de tamaño:unsiCunCsioun
- El triángulo isoceles (recordar p es el punto común).△ o a ppag
- El triángulo .△ a b p
- El pequeño triángulo △ a b c
Estos triángulos son casi similares (es decir, escala de módulo congruente). Más precisamente, para , los tres tienen la siguiente propiedad:
la relación entre la longitud del tramo corto y el tramo largo es Θ ( ϵ ) . (No probaré esto con más detalle aquí, pero tenga en cuenta que ϵ → 0 a
medida que el insecto camina, y al perturbar un vértice en cada triángulo en una cantidad insignificante, los triángulos se pueden hacer similares).ϵ = | a p |Θ ( ϵ )ϵ → 0
Las largas piernas y P o del primer triángulo tiene longitud 1. Su pierna corta | a p | tiene longitud ϵ . El segmento a p es un tramo largo del segundo triángulo, de modo que el tramo corto del triángulo a b tiene una longitud Θ ( ϵ 2 ) . El segmento a b es un tramo largo del tercer triángulo, de modo que el tramo corto del triángulo a c tiene una longitud Θ ( ϵ 3 ) . Por lo tanto, en estos dos pasos que toma el error:c op oEl | ap |ϵa pa bΘ ( ϵ2)a ba cΘ ( ϵ3)
- La distancia el error viaja es Θ ( ϵ 2 ) .El |a b | + | b c |Θ ( ϵ2)
- La distancia desde el error hasta el punto común disminuye de ϵ a ϵ - Θ ( ϵ 3 ) .pagϵϵ - Θ ( ϵ3)
Definir tiempo sea el número de pasos antes de ε t ≈ 1 / 2 k . Por (2) arriba, ϵ disminuye en un factor constante después de aproximadamente steps ( 1 / ϵ 2 ) pasos, entonces t k + 1 = t k + Θ ( 2 2 k ) = t k + Θ ( 4 k ) . Por lo tanto, t k = Θ ( 4 ktkϵt≈ 1 / 2kϵΘ ( 1 / ϵ2)tk + 1= tk+ Θ ( 22 k) = tk+ Θ ( 4k) . Esto es, después de theta ( 4 k ) pasos, la distancia desde el fallo hasta el punto común p será de aproximadamente 1 / 2 k . Cambiando variables, después de N pasos, la distancia desde el error al punto común será ϵ = Θ ( 1 / √tk=Θ(4k)Θ(4k)p1/2kN. Y, en elNº paso, el insecto viajaΘ(ε2)=Θ(1/N). Así la distancia total recorrida en los primerosNpasos esΘ(1+1/2+1/3+...+1/N)=Θ(logN).ϵ=Θ(1/N−−√)NΘ(ϵ2)=Θ(1/N)NΘ(1+1/2+1/3+...+1/N)=Θ(logN)
Este es el límite inferior.
Se extiende a la Variante 2 propuesta (según tengo entendido), de la siguiente manera:
Agregar la restricción de que el error debe moverse al punto más cercano en la intersección de los dos círculos colocados más recientemente no ayuda. Es decir, el límite inferior de anterior todavía se aplica. Para ver por qué, modificaremos el ejemplo anterior agregando un solo círculo extraño que permita que el error cumpla con la restricción mientras sigue el mismo camino:Ω(logN)
Los círculos verde y azul son los dos círculos del ejemplo anterior. La intersección señala y b son los mismos una y b como en el ejemplo anterior. El círculo rojo es el nuevo círculo "extraño". La secuencia anterior alternaba entre los círculos azul y verde. La nueva secuencia será esta secuencia, pero con el círculo rojo agregado antes de cada círculo en la secuencia anterior: rojo, azul, rojo, verde, rojo, azul, rojo, verde, rojo, azul, ...abab
Supongamos que el fallo está sentado en después de azul se coloca. El siguiente círculo colocado es rojo. El rojo contiene el error, por lo que el error no se mueve. El siguiente círculo colocado es verde. Ahora el error se mueve a b (que es el punto más cercano en la intersección de los círculos verde y rojo). Al repetir esto, el error viaja como antes.ab
Límite superior de O(logN)
Solo bosquejo la prueba.
Arregla cualquier secuencia de círculos. Argumentaremos que como , la distancia total recorrida por el error en los primeros N pasos es O ( log N ) . Suponga sin pérdida de generalidad que el primer círculo tiene radio 1.N→∞NO(logN)
Arregle una arbitrariamente grande . Sea p por cualquier punto en la intersección de los primeros N círculos. Tenga en cuenta que debido a la forma en que se mueve el error, en cada paso que se mueve el error se acerca a la p .NpNp
Primero, considere los pasos donde la siguiente relación es al menos :
la reducción en la distancia a p1/logN
La distancia total recorrida en dichos pasos esO(logN), porque la distancia total recorrida en dichos pasos esO(logN)multiplicada por la distancia inicial ap. Así que sólo tenemos que acotar la distancia total recorrida en los otros pasos --- aquellos en los que esta relación es como máximo de1/logN.
the reduction in the distance to pthe distance traveled in the step.
O(logN)O(logN)p1/logN
Primero, argumentamos algo ligeramente más débil: que la distancia total recorrida en tales pasos
antes de que el radio del círculo disminuya a 1/2 o menos es . (Mostramos más tarde que esto es suficiente para dar el límite).O(logN)
Considere cualquiera de esos pasos. Deje y b , respectivamente, denotar las ubicaciones del error antes y después del paso. Deje o denotar el centro del círculo actual. Deje b ′ denotar el punto en el rayo → p b tal que | p a | = | p b | :abob′pb→|pa|=|pb|
Considere los siguientes triángulos:
- △opb
- △pba
- △abb′
Por argumentos geométricos similares a los del límite inferior, para algunos , cada uno de estos triángulos tiene dos patas largas y una pata corta, y la proporción (para cada triángulo) de la longitud de la pierna corta a la longitud de la pierna larga es Θ ( ϵ ) :
| b b ′ |ϵΘ(ϵ)
|bb′||ab|=Θ(|ab||pa|)=Θ(|pa||bo|)=Θ(ϵ).
Esta ecuación y la suposición de que , Que es el radio del círculo, está en [ 1 / 2 , 1 ] implica que | a b | = Θ ( | p a | 2 / | b o | ) = Θ ( | p a | 2 ) , y luego eso | b b ′ | = Θ ( | a b ||bo|[1/2,1]|ab|=Θ(|pa|2/|bo|)=Θ(|pa|2) .|bb′|=Θ(|ab||pa|/|bo|)=Θ(|pa|3)
Ahora nos centramos en la distancia del error a . Llámelo d antes del paso, y d ' después del paso. (Nota d = | p a | , d ′ = | p b | , y d - d ′ = | b b ′ | .)pdd′d=|pa|d′=|pb|d−d′=|bb′|
En este paso, esta distancia reduce en | b b ′ | , que según las observaciones anteriores es Ω ( d 3 ) .d|bb′|Ω(d3)
Por lo tanto, el número de pasos adicionales necesarios para reducir la distancia en un factor de 2 (a lo más ) es O ( 1 / d 2 ) . Las variables cambiantes, si d = 1 / 2 k , el número de pasos adicionales requeridos para llevar la distancia por debajo de
1 / 2 k + 1 es O ( 4 k ) . Dado que la suma es geométrica, el número total de pasos necesarios para llevar la distancia por debajo de 1 / 2 k es O (d/2O(1/d2)d=1/2k1/2k+1O(4k)1/2k . Cambiando las variables nuevamente, después de n pasos, la distancia a p será O ( 1 / √O(1/4k)np.O(1/n−−√)
Por último, recordando la ecuación muestra varios párrafos arriba, en el º paso, la distancia que el insecto se desplaza, es decir, | a b | , es O ( ( la distancia actual a p ) 2 ) = O ( 1 / n ) . Por lo tanto, la distancia total recorrida en los primeros N dichos pasos mientras que el radio del círculo está en [ 1 / 2 , 1 ]
es como máximo
N Σ n = 1 O ( 1 /n|ab|O((the current distance to p)2)=O(1/n)N[1/2,1]
∑n=1NO(1/n)=O(logN).
Por escalado, se concluye que, para cualquier , la distancia total recorrida mientras que el radio del círculo está en el intervalo [ 1 / 2 k , 1 / 2 k + 1 ]
es O ( log ( N ) / 2 k ) . Sumando sobre k , la distancia total recorrida es O ( log N ) . QEDk[1/2k,1/2k+1]O(log(N)/2k)kO(logN)